Welcher (kleinste positive) Winkel (Gradmaß) hat einen Sinus von -0,7?

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Mikalino Auf diesen Beitrag antworten »
Welcher (kleinste positive) Winkel (Gradmaß) hat einen Sinus von -0,7?
Meine Frage:
Hallo,
auf der oben stehenden Aufgabe herum und wäre dankbar für Hilfestellungen.



Meine Ideen:
Habe bisher folgenden Lösungsansatz:

sin(x) = -0,7
x = arcsin(-0,7)
x = -44,43°

Soweit so gut. Nun ist aber nach dem "kleinsten postiven" Winkel gefragt. Und da bin ich mir nicht ganz sicher wie ich auf den komme...

ich habe es so versucht:

360° - 44,43° = 315,57°

Aber eigentlich weiss ich gar nicht genau was das mit den 360° auf sich hat, bzw wann man 180° nimmt und wann 360°.

Es wäre toll, wenn mir jemand ein wenig auf die Sprünge helfen könnte...

Grüße
Andrea
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir mal die Sinuskurve an. Es gibt noch einen kleineren Winkel mit demselben Sinuswert!
Die -44,43° sind einfach 44,43° im mathematisch negativen Drehsinn. Wenn wir aber von Null aus im positiven Sinn drehen, ist der erste Winkel mit einem Sinus von -0,7 ... ?
 
 
Mikalino Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort.
Aber ich muss gestehen, daß ich das leider nicht verstehe...

Wenn ich nun einen Winkel von -44,43° berechnet habe...wie komme ich dann von da aus weiter?
Mikalino Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich den letzten Schritt wie folgt rechne:
180° - 44,43° = 135,57°

dann ist aber im Umkehrschluss

sin(135,57) = 0,7 und nicht -0,7

???
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Bei 0° ist der Sinus 0. Wenn du weiterdrehst, ist er bei 90° 1 und bei 180° wieder 0. Wann nimmt er dann erstmals den Wert -0,7 an?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Mikalino Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ok...

Die Lösung ist dann wohl
224,43° ???

Aber ich verstehe leider die Formel dazu nicht...(180° + 44,43)
Woher weiss ich, in welchem Quadranten der Winkel ist (bei errechnetem Wert von -44,43°)
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Das sagt dir eben die Sinuskurve. Wenn wir uns auf den Bereich zwischen 0° und 360° beschränken, gibt es immer zwei Winkel mit demselben Sinuswert. Und wenn du auf der Sinuskurve "entlang läufst", siehst du, wann du zuerst zu dem Winkel mit dem gewünschten Sinuswert kommst.
Die -44,43° (rechtsdrehend Augenzwinkern ) entsprechen 360° - 44,43° = 315,57° (linksdrehend).
Mikalino Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Verstanden, aber ich habe ja bei einer solchen Aufstellung nicht die Aufgabe die Sinuskurve zu zeichnen - also "sehe" ich ja auch die dementsprechenden Werte nicht, sondern muss sie errechnen... oder hab ich da jetzt was falsch verstanden?

Und die 315,57° (die ich ursprünglich berechnet hatte) waren ja falsch, der Winkel war ja gar nicht gesucht...

Der gesuchte kleinste positive Winkel ist ja 224,43° (wenn das Ergebnis so stimmt)

und somit im 3. Quadranten...die Formel die ich für den sin habe lautet 180°+ alpha....
Aber dazu müsset ich ja erstmal wissen wie ich von -44,43° auf den Quadranten komme.

Es tut mir leid. Befinde mich im Tal der Ahnungslosen...
Mikalino Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir denn niemand den Lösungsweg / Rechenweg erklären?

Daß das Ergebnis 224,43° ist habe ich mir ja nun berechnet. Aber den rechnerischen Weg dahin habe ich noch nicht verstanden.

Ab hierwäre ich dankbar für den rechnerischen Weg bzw. die Erklärung dazu:
sin(x) = -0,7
x = arcsin(-0,7)
x = -44,43°

Vielen Dank!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zur vollständigen (!) reellen Lösung von bei gegebenen siehe u.a. hier:

Lösungsmenge trigonometrischer Funktionen ?


Und dazu ergänzend:


1.Ist positiv, so liefert

die Lösungen in Quadrant I

die Lösungen in Quadrant II


2.Ist negativ, so liefert

die Lösungen in Quadrant IV

die Lösungen in Quadrant III


Hier liegt nun vor, und da wir die kleinste positive Lösung suchen, liegt die in Quadrant III und lautet (mit k=0)

.



P.S.: Ein gewissen Grundverständnis vom Verhalten der Winkelfunktionen in den vier Quadranten sollte man schon haben, etwa deren Vorzeichen sowie Symmetriebeziehungen. Mit entsprechender Kombinationsgabe kann man sich das rasch aus der Definition dieser Winkelfunktionen im Einheitskreis immer wieder klar machen (ohne diese Kombinationsgabe muss man das eben nachschlagen oder auswendig lernen). Augenzwinkern
Mikalino Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Mir fehlt dann leider dieses eingeforderte "Grundverständnis". Denn mir ist z.B. nicht klar, woran ich an der Aufgabenstellung oder an meinem errechneten Winkel von -44°" erkennen kann, daß die kleinste positive Lösung im Quadranten 3 liegt und ich folglich die Formel für den 3. Quadranten anwenden muss...


"Hier liegt nun y=&#8722;0.7<0 vor, und da wir die kleinste positive Lösung suchen, liegt die in Quadrant III und lautet (mit k=0)"


Mir sind auch die Formeln für die einzelnen Quandranten nicht ganz klar...stimmt das so?

Im Gradmaß:
1. alpha
2.180° - alpha
3.180° + alpha
4. 360° - alpha

Im Bogenmaß:
1. alpha
2. pi - alpha
3. pi +alpha
4. 2pi -alpha

LG
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Kopf hoch, das kriegen wir schon.

Dass die kleinste positive Lösung im dritten Quadranten liegen muss, zeigt Dir die Sinuskurve, die Dopap netterweise gezeichnet hat. Da siehst Du ja, dass der Winkel so um die 220° ist.

Und mit dem Wissen, dass von 0° bis 90° der erste Quadrant gemeint ist, dann von 90° bis 180° der zweite und so weiter, ist dann klar, dass dieser Winkel im dritten liegt.

Natürlich musst Du laut Aufgabe keine Sinuskurve zeichnen, aber es ist nicht verboten, auf den Zettelrand mal schnell eine hinzumalen, um sich das zu veranschaulichen. Mach ich auch oft so.

Deine Formeln sind ansonsten richtig. Hier hilft zur Veranschaulichung der beliebte Einheitskreis - oder auch ein Uhrzeiger. Mit dem siehst Du schnell, dass bei 2 Uhr und bei 10 Uhr die Höhe der Zeigerspitze über dem Drehpunkt dieselbe ist. Und diese Höhe ist ja nichts anderes als der Sinus.

Viele Grüße
Steffen
Mikalino Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Erklärung.
Habe es nun verstanden. Mir war nicht klar, daß man (wenn man die Sinus und Cosinus-Kurven nicht im Kopf hat) erstmal eine Skizze anfertigen muss um dann zu SEHEN in welchem Quadranten sich der kleinste Winkel befindet.
Ich dachte man kommt irgendwie rechnerisch darauf...

Beim cosinus ist es alles das Gleiche, oder?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Rechnen kann man das durchaus, das hat ja HAL vorgemacht. Aber vielleicht liegt Dir das "Sehen" mehr.

Schauen wir uns kurz den Cosinus an. Der Arcussosinus von -0,7 ist etwa 134°, und das wäre hier auch die Lösung:



Die liegt jetzt also im zweiten Quadranten. Deswegen ist es nicht "alles das Gleiche", zumindest greifen Deine Formeln hier so nicht.

Aber vom Prinzip her ist es in der Tat dasselbe. Wenn Du anhand der Skizze exakt ausrechnen kannst, wo der Cosinus das zweite Mal den Wert -0,7 annimmt, hast Du's verstanden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mikalino
Im Gradmaß:
1. alpha
2.180° - alpha
3.180° + alpha
4. 360° - alpha

Ich halte diese Art Zugang für fatal: Immer weiter aufsplittende "Sondervarianten", am Ende wird geraten, welche man nimmt.

Tatsächlich sind es mit korrekt vorzeichenbehafteten alpha = arcsin(Wert) nur die beiden Varianten

1. alpha (bzw. falls <0, dann einen Vollkreis dazu: 360°+alpha)
2.180° - alpha

Diese zwei sind genau die beiden Lösungen, die es im Intervall [0°,360°) gibt.
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