Real- und Imaginärteil aller Lösungen

11.12.2014, 12:50

Cindy aus Meinzahn

Real- und Imaginärteil aller Lösungen

Meine Frage:
Hey.

Geben Sie Real- und Imaginärteil aller komplexer Lösungen $\begin{eqnarray*} \sin^2 (z) - \cos^2 (z) = \sin (2z) \end{eqnarray*}$

an!

Meine Ideen:
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten:
Entweder:
$\begin{eqnarray*} \sin^2 = \frac12 (1-\cos (2z)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos^2 = \frac12 (1+\cos (2z)) \end{eqnarray*}$
benutzen oder:
$\begin{eqnarray*} \cos(z )= \frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin(z )= \frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2i} \end{eqnarray*}$

Ich habe mich für ersteres entschieden:
$\begin{eqnarray*} \sin^2 (z) - \cos^2 (z) = \sin (2z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac12 (1-\cos (2z)) - \frac12 (1+\cos (2z)) = \sin (2z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (1-\cos (2z)) - (1+\cos (2z)) = 2 \sin (2z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -2\cos (2z) = 2 \sin (2z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -\cos (2z) = \sin (2z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -\frac{e^{i 2z}+e^{-i 2z}}{2} = \frac{e^{i 2 z}-e^{-i 2 z}}{2i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{-e^{i 2z}-e^{-i 2z}}{2} + \frac{-e^{i 2 z}+e^{-i 2 z}}{2i}= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -i e^{i 2z}-i e^{-i 2z} -e^{i 2 z}+e^{-i 2 z} = 0 \end{eqnarray*}$

Substituiere: $\begin{eqnarray*} u:= e^{i2z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -i u-i \frac1u -u+ \frac1u = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -i u^2-i -u^2+ 1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -i u^2 -u^2 -i + 1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -u^2 (i+1) -i + 1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -u^2 + \frac{-i + 1}{i+1} = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt bin ich mit meinem Latein am Ende. Wollte jetzt benutzen, dass

$\begin{eqnarray*} e^{i \varphi} r = r (\cos (\varphi) + i \sin (\varphi)) \end{eqnarray*}$

nachdem ich resubstituiert habe, aber weiß nicht wie ich r bestimmen soll, oder geht's anders? Für Vorschläge wäre ich jedenfalls dankbar!

Cindy

11.12.2014, 13:38

HAL 9000

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Ich setze mal hier an:

Zitat:

Original von Cindy aus Meinzahn
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -i e^{i 2z}-i e^{-i 2z} -e^{i 2 z}+e^{-i 2 z} = 0 \end{eqnarray*}$

Multipliziere doch noch das ganze mit $\begin{eqnarray*} e^{i 2z} \end{eqnarray*}$ , dann kannst du direkt nach $\begin{eqnarray*} e^{i 4z} \end{eqnarray*}$ umstellen, was die Sache doch vereinfacht.

EDIT: Bzw., es ist ja mit deiner Substitution $\begin{eqnarray*} u^2=e^{i 4z} \end{eqnarray*}$ . Na rechne doch einfach jetzt mal $\begin{eqnarray*} \frac{-i+1}{i+1} \end{eqnarray*}$ direkt aus und überführe es in die Polardarstellung.

11.12.2014, 13:57

Cindy aus Meinzahn

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RE: Real- und Imaginärteil aller Lösungen

Zitat:

Original von HAL 9000
Multipliziere doch noch das ganze mit $\begin{eqnarray*} e^{i 2z} \end{eqnarray*}$ , dann kannst du direkt nach $\begin{eqnarray*} e^{i 4z} \end{eqnarray*}$ umstellen, was die Sache doch vereinfacht.

$\begin{eqnarray*} -i e^{i4z}-i-e^{i4z}+1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -e^{i4z}=-1+i+i e^{i4z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow e^{i4z}=1-i-i e^{i4z} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von HAL 9000
EDIT: Bzw., es ist ja mit deiner Substitution $\begin{eqnarray*} u^2=e^{i 4z} \end{eqnarray*}$ . Na rechne doch einfach jetzt mal $\begin{eqnarray*} \frac{-i+1}{i+1} \end{eqnarray*}$ direkt aus und überführe es in die Polardarstellung.

Ausrechnen im Sinne von?

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -u^2 + \frac{-i + 1}{i+1} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow u^2 = \frac{-i + 1}{i+1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt überführen? Oder vorher noch die Wurzel ziehen, bin mir unsicher? Der Ausdruck Ausrechnen ist mir in dem Kontext ein wenig unklar. Zu bestimmen ist Real- und Imaginärteil, jedoch muss ich das ja geeignet trennen.

Aber es gilt doch wenn ich auf beiden Seiten durch r teile, dass

$\begin{eqnarray*} e^{i \varphi} = \cos (\varphi) + i \sin (\varphi) \end{eqnarray*}$

Cindy dankt!

11.12.2014, 15:23

Steffen Bühler

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RE: Real- und Imaginärteil aller Lösungen
Ich helf mal kurz aus.

Zitat:

Original von Cindy aus Meinzahn
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow e^{i4z}=1-i-i e^{i4z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow e^{i4z} + i e^{i4z} =1-i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (1+i) \cdot e^{i4z} =1-i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow e^{i4z} = ... \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Cindy aus Meinzahn

Zitat:

Original von HAL 9000
... rechne doch einfach jetzt mal $\begin{eqnarray*} \frac{-i+1}{i+1} \end{eqnarray*}$ direkt aus und überführe es in die Polardarstellung.

Ausrechnen im Sinne von?

Nach Real- und Imaginärteil trennen, zum Beispiel indem Du mit der komplex Konjugierten des Nenners erweiterst.

$\begin{eqnarray*} \frac{-i+1}{i+1} = x + iy \end{eqnarray*}$

Was ist hier x und y? Und nun die Polardarstellung.

Dann die vier Wurzeln bestimmen: vierte Wurzel des Betrags, ein Viertel des Winkels, dann jeweils um 90° weiterdrehen.

Viele Grüße
Steffen

11.12.2014, 16:05

HAL 9000

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Eigentlich sehe ich gar keine besondere Bedeutung der Zahl 4 hier: Ist man bei

$\begin{align*} e^{i4z} = re^{i\varphi} \end{align*}$ mit gegebenen $\begin{align*} r,\varphi \end{align*}$ ,

so lautet dessen allgemeine Lösung

$\begin{align*} i4z = \ln(r) + i\varphi + i2k\pi \end{align*}$ mit $\begin{align*} k\in\mathbb{Z} \end{align*}$ ,

was dann nicht mehr weit von der z-Lösung entfernt ist.

11.12.2014, 18:14

Cindy aus Meinzahn

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ich helf mal kurz aus.

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (1+i) \cdot e^{i4z} =1-i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow e^{i4z} = ... \end{eqnarray*}$

Ja hatte ich das nicht? $\begin{eqnarray*} e^{i4z} = \frac{1-i}{1+i} \end{eqnarray*}$

Komplex-Konjugiert Erweitern

$\begin{eqnarray*} e^{i4z} = \frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)\cdot(1-i)}{1-i^2} = \frac{1 -2i+i^2}{1-i^2} = \frac{-2i}{1-i^2} = \frac{-2i}{2}=-i \end{eqnarray*}$

Es ist also: $\begin{eqnarray*} e^{i4z} = -i \end{eqnarray*}$ Jetzt Polardarstellung, bin mir in dem Umgang damit unsicher. Oder noch nicht? Ich kann sie ja machen aber rechts ist noch das -i

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Nach Real- und Imaginärteil trennen, zum Beispiel indem Du mit der komplex Konjugierten des Nenners erweiterst.

$\begin{eqnarray*} \frac{-i+1}{i+1} = x + iy \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} x = r \cdot \cos (\varphi) \end{eqnarray*}$

Was ist hier x und y? Und nun die Polardarstellung.

Dann die vier Wurzeln bestimmen: vierte Wurzel des Betrags, ein Viertel des Winkels, dann jeweils um 90° weiterdrehen.

Da verstehe ich diesen Sachverhalt nicht. $\begin{eqnarray*} \frac{-i+1}{i+1} = x + iy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = r \cdot \cos (\varphi) \end{eqnarray*}$ und entsprechend $\begin{eqnarray*} y = r \cdot \sin (\varphi) \end{eqnarray*}$

Dem Rest kann ich nicht folgen, sorry.

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} e^{i4z} = re^{i\varphi} \end{align*}$ mit gegebenen $\begin{align*} r,\varphi \end{align*}$ ,

so lautet dessen allgemeine Lösung

$\begin{align*} i4z = \ln(r) + i\varphi + i2k\pi \end{align*}$ mit $\begin{align*} k\in\mathbb{Z} \end{align*}$ ,

was dann nicht mehr weit von der z-Lösung entfernt ist.

$\begin{align*} e^{i4z} = re^{i\varphi} \end{align*}$ diesen Zusammenhang sehe ich zum ersten Mal und ich weiß nicht wie er zu Stande kommt, ich weiß aber dass die e-Funktion im Komplexen eine periodische Funktion ist, demnach nehme ich an, dass der Logarithmus es im Komplexen auch ist, daher kommen die $\begin{align*} i2k\pi \end{align*}$ damit man auch alle Lösungen hat.
Im letzten Schritt erfolgt die Anwendung des Logarithmus, aber der eine erwähnte Schritt am Anfang lässt mich noch Grübeln.

Danke Euch beiden vielmals!

Cindy

11.12.2014, 20:55

Steffen Bühler

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Nur kurz, was ich meine:

Der Bruch (1-i)/(1+i) ergibt eine komplexe Zahl. Die kannst Du berechnen. Tu das doch mal.

Wenn Du mit den Rechenregeln für komplexe Zahlen nicht so vertraut bist, hilft unser Workshop:

[WS] Komplexe Zahlen

12.12.2014, 00:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Cindy aus Meinzahn
$\begin{align*} e^{i4z} = re^{i\varphi} \end{align*}$ diesen Zusammenhang sehe ich zum ersten Mal

Es ist $\begin{align*} e^{i4z} = -i \end{align*}$ von dir ausgerechnet, und $\begin{align*} -i \end{align*}$ möge die Polardarstellung $\begin{align*} re^{i\varphi} \end{align*}$ besitzen (die von dir noch auszurechnen ist!!!). Also ist dann $\begin{align*} e^{i4z} = re^{i\varphi} \end{align*}$ - mehr war nicht gemeint.

Immer solche ärgerlichen Missverständnisse - habe ich mich denn wirklich so missdeutbar oben ausgedrückt? unglücklich

13.12.2014, 09:43

Cindy aus Meinzahn

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Der Bruch (1-i)/(1+i) ergibt eine komplexe Zahl. Die kannst Du berechnen. Tu das doch mal.

Ahso ja das ist nicht wild, aber das habe ich doch in meinem Beitrag davor getan?

Zitat:

Original von HAL 9000
Finger1

Nicht so fest sonst bleiben Abdrücke Augenzwinkern

Zitat:

Original von HAL 9000
Es ist $\begin{align*} e^{i4z} = -i \end{align*}$ von dir ausgerechnet, und $\begin{align*} -i \end{align*}$ möge die Polardarstellung $\begin{align*} re^{i\varphi} \end{align*}$ besitzen (die von dir noch auszurechnen ist!!!). Also ist dann $\begin{align*} e^{i4z} = re^{i\varphi} \end{align*}$ - mehr war nicht gemeint.

Also wenn $\begin{eqnarray*} i=90° \end{eqnarray*}$ entspricht, muss $\begin{eqnarray*} -i=90° \end{eqnarray*}$ Der Betrag von dem Imaginärteil liefert als Radius $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ . Also müsste die folgende Polarform sich ergeben: $\begin{eqnarray*} -i = e^{-i \frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Die ganze Gleichung also zu:
$\begin{eqnarray*} e^{i4z} = e^{-i \frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$
Jetzt frage ich mich ob ich den ln anwenden darf da ja rechts von der Gleichung -i quasi steht, also was "negatives". Hm.

Dann käme in der Tat die Form zu Stande:
$\begin{eqnarray*} i 4 z = -i \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = -\frac{\pi}{8} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist das aber nur eine Lösung, aber nicht alle, da ja die Funktionen Sinus, Cosinus periodisch sind. Es muss also ein Ausdruck hinzuaddiert werden wie es hier gemacht wurde:

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} i4z = \ln(r) + i\varphi + i2k\pi \end{align*}$ mit $\begin{align*} k\in\mathbb{Z} \end{align*}$ ,

Da ich dies noch nicht ganz verstehe weiß ich halt nicht genau auf welche periodische Funktion die Lösung $\begin{align*} i2k\pi \end{align*}$ bezogen ist.

PS: Immer Missverständnisse? Nun weiß nicht, ich hab mich jetzt ziemlich lange mit der Aufgabe auseinandergesetzt da wurde der Tipp klarer, auf den ersten Blick erscheinen die neuen Sachen ziemlich erschlagend, daher ist es wohl ein Problem (von mir) und nicht des Ratgebers. Vielleicht wäre ein bisschen ausführlichere Erklärung dessen besser, aber es soll ja nicht alles vorgekaut werden hier smile

Ich bedanke mich Gott

Cindy

13.12.2014, 11:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Cindy aus Meinzahn
PS: Immer Missverständnisse? Nun weiß nicht, ich hab mich jetzt ziemlich lange mit der Aufgabe auseinandergesetzt da wurde der Tipp klarer, auf den ersten Blick erscheinen die neuen Sachen ziemlich erschlagend, daher ist es wohl ein Problem (von mir) und nicht des Ratgebers. Vielleicht wäre ein bisschen ausführlichere Erklärung dessen besser, aber es soll ja nicht alles vorgekaut werden hier smile

Das Problem ist, dass du nur auf die Formel geschaut hast und diese saublöden Satz "...diesen Zusammenhang sehe ich zum ersten Mal" abgelassen hast. Die Text-Erklärung von mir war da, du hast sie nur überhaupt nicht gelesen:

Zitat:

Original von HAL 9000
Ist man bei

$\begin{align*} e^{i4z} = re^{i\varphi} \end{align*}$ mit gegebenen $\begin{align*} r,\varphi \end{align*}$ ,

so lautet dessen allgemeine Lösung

$\begin{align*} i4z = \ln(r) + i\varphi + i2k\pi \end{align*}$ mit $\begin{align*} k\in\mathbb{Z} \end{align*}$

d.h. im Sinne von wenn...dann. Die Formel oben $\begin{align*} e^{i4z} = re^{i\varphi} \end{align*}$ ist also keine Feststellung, sondern die Bedingung dafür, dass die untere Formel gilt. Also fass dir mal an die eigene Nase, bevor du hier rumjammerst, dass zuwenig erklärt wird!

Zum mathematischen Teil: Die Exponentialfunktion ist $\begin{align*} 2\pi i \end{align*}$ -periodisch im Komplexen, daher gilt dort

$\begin{align*} \exp(z_1) = \exp(z_2) \quad \Longleftrightarrow\quad \left( \exists k\in\mathbb{Z}:\; z_1 = z_2 + 2k\pi i \right) \end{align*}$ ,

nichts anderes habe ich oben bei der "Logarithmierung" der Gleichung $\begin{align*} e^{i4z} = re^{i\varphi} \end{align*}$ berücksichtigt.

13.12.2014, 12:51

Cindy aus Meinzahn

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Zitat:

Original von HAL 9000
Zum mathematischen Teil: Die Exponentialfunktion ist $\begin{align*} 2\pi i \end{align*}$ -periodisch im Komplexen, daher gilt dort

$\begin{align*} \exp(z_1) = \exp(z_2) \quad \Longleftrightarrow\quad \left( \exists k\in\mathbb{Z}:\; z_1 = z_2 + 2k\pi i \right) \end{align*}$ ,

nichts anderes habe ich oben bei der "Logarithmierung" der Gleichung $\begin{align*} e^{i4z} = re^{i\varphi} \end{align*}$ berücksichtigt.

Ja tut mir leid traurig

$\begin{align*} i4z = \ln(r) + i\varphi + i2k\pi \end{align*}$ mit $\begin{align*} k\in\mathbb{Z} \end{align*}$

Umgestellt bedeutet das: $\begin{align*} z= \frac{ \ln(r) + i\varphi + i2k\pi}{4i} \end{align*}$ mit $\begin{align*} k\in\mathbb{Z} \end{align*}$

Was ich dennoch nicht hinbekomme ist die Gleichung für alle Lösungen z zu verstehen

$\begin{eqnarray*} e^{i4z} = e^{-i \frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$
Die Frage wieso ich den ln anwenden darf obwohl -i steht, also was "negatives" besteht

$\begin{eqnarray*} i 4 z = -i \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = -\frac{\pi}{8} \end{eqnarray*}$

Alle Lösungen sind dann: $\begin{eqnarray*} z = -\frac{\pi}{8} + 2\pi k i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{align*} k\in\mathbb{Z} \end{align*}$

Cindy

13.12.2014, 13:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Cindy aus Meinzahn
Umgestellt bedeutet das: $\begin{align*} z= \frac{ \ln(r) + i\varphi + i2k\pi}{4i} \end{align*}$ mit $\begin{align*} k\in\mathbb{Z} \end{align*}$

Hier steht's noch richtig, und dann

Zitat:

Original von Cindy aus Meinzahn
Alle Lösungen sind dann: $\begin{eqnarray*} z = -\frac{\pi}{8} + 2\pi k i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{align*} k\in\mathbb{Z} \end{align*}$

ignorierst du das unerklärlicherweise. Du setzt völlig ohne Begründung für $\begin{align*} z \end{align*}$ eine Periode $\begin{align*} 2\pi i \end{align*}$ an, dabei gilt diese Periode nicht für $\begin{align*} z \end{align*}$ , sondern für $\begin{align*} i4z \end{align*}$ - ein himmelweiter Unterschied! unglücklich

Bezugnehmend auf die erste Formel haben wir hier doch mit $\begin{align*} -i = 1\cdot e^{-\frac{\pi}{2}i} \end{align*}$ doch dann $\begin{align*} r=1 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \varphi = -\frac{\pi}{2} \end{align*}$ vorliegen, dann bedeutet dies doch

$\begin{align*} z = \frac{\ln(r) + i\varphi + i2k\pi}{4i} = \frac{-i\frac{\pi}{2} + i2k\pi}{4i} = -\frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2} \end{align*}$ .

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