Insektenpopulation - Übergangsmatrix

11.12.2014, 15:48

Biooo0

Insektenpopulation - Übergangsmatrix

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Ich soll die folgende Aufgabe machen:
Eine Insektenpopulation entwickelt sich nach folgenden Modell. Ein Insekt legt kurz vor seinem Tod so viele Eier, dass sich hieraus im nächsten Jahr 20 Larven entwickeln. 10% dieser Larven überleben das erste Jahr, im zweiten Jahr verpuppen sich 50% und werden schließlich zum Insekt

a) Geben sie die Übergangsmatrix an, berechnen sie U2 und U3 und beschreiben sie wie sich die Population langfristig entwickelt.
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0 & 0,1 & 0 \\ 0 & 0 & 0,5 \\ 20 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

a=20
b=0,1
v=0,5

Da a⋅b⋅v=1 auch bei U2 und U3 immer gilt, ist es eine zyklische Entwicklung.
$\begin{eqnarray*} U2= \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0,05 \\ 10 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} U3=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun b:

DIe Population besteht anfangs aus 400 Larven und je 200 verpuppten Larven und Insekten. Geben Sie an, in welchem Bereich die Anzahl der Insekten schwankt.

Es sollen die Zahlen 200, 100 und 20 rauskommen. Doch ich verstehe nicht wie???
Wenn ich U mit der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 400 \\ 200\\ 200 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ multipliziere kommt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2000 \\ 40\\ 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus und wenn ich es nun weiterführe komme ich wieder auf $\begin{eqnarray*} \begin {pmatrix} 400 \\ 200\\ 200 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Korrektur aus zweitem Beitrag eingebaut, zweiten Beitrag gelöscht. Steffen

Wie komme ich bei b auf die Zahlen 200, 100 und 20?

11.12.2014, 22:38

Bjoern1982

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Deine Populationsmatrix in a) ist schon nicht richtig.
Die Zahlen stehen an den verkehrten Stellen.
Schon die 20 in der 3. Zeile und 1. Spalte würde ja dafür sprechen, dass hier etwas übersprungen wird.
Orientiere dich bei der Benennung der Zeilen und Spalten doch an der gegebenen Anfangspopulation in b).
Halte also die Reihenfolge L1 ------> L2 -------> I ein und stelle nun die korrekte Matrix auf.

Zitat:

Da a⋅b⋅v=1 auch bei U2 und U3 immer gilt, ist es eine zyklische Entwicklung.

Was da genau steht, kann man leider nicht erkennen.
Die richtige Begründung für einen Zyklus, scheint es jedoch nicht zu sein.
Entscheidend ist, dass U³=E gilt, wobei E=Einheitsmatrix.

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