Konvergenz einer Reihe beweisen

11.12.2014, 15:48

Cyvasse

Konvergenz einer Reihe beweisen

Aufgabe

Die Aufgabe ist folgende:

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz. Beweisen Sie Ihre Behauptung.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \sqrt {k^4+1} - k² \end{eqnarray*}$

Meine Ideen

Dank Wolfram|Alpha weiß ich zumindest, dass die Reihe konvergiert. Also das Quotientenkriterium ist inkonklusiv und das Wurzelkriterium bringt hier offensichtlich nichts. Ich würde gerne das Majorantenkriterium anwenden, aber ich wüsste nicht, welche Majorante ich anwenden kann. Sollte es $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac {1}{k²} \end{eqnarray*}$ sein, finde ich keinen Ansatz für eine passende Umformung/Abschätzung. Ist wahrscheinlich total simpel, aber ich steh grad aufm Schlauch.

Danke schon mal!

11.12.2014, 15:53

Guppi12

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Hallo,

forme die summierte Folge mit Hilfe der 3. binomischen Formel um.

11.12.2014, 16:09

HAL 9000

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Oder man kann auch direkt das Majorantenkriterium nehmen mit Vergleichsreihe

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \left( \sqrt{k^4+1+\frac{1}{4k^4}} - k^2 \right) \end{align*}$ . smile

11.12.2014, 16:18

Cyvasse

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@Guppi12: Okay, das mit der 3. binomischen Formel war schon mal hilfreich. Daraus ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} a_k = \sqrt{k^4+1}-k² < (\sqrt{k^4+1}-k²)(\sqrt{k^4+1}+k²) = k^4 +1 -k^4 = 1 \end{eqnarray*}$

Ist die Konvergenz dadurch, dass die summierte Folge bewiesenermaßen <1 ist, schon gezeigt?

@HAL 9000: Ich denke mein Tutor würde dann von mir erwarten, dass ich erst mal zeige, dass diese Majorante konvergiert Augenzwinkern

Die hatten wir zumindest noch nicht in der Vorlesung.

11.12.2014, 16:35

Cyvasse

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edit nicht mehr möglich:
@Guppi12 Ne quatsch, das kann ja gar nicht hinreichend sein, weil es ja sowieso ne Nullfolge sein muss. verwirrt

Wahrscheinlich hab ich gar nicht das gemacht, was du von mir wolltest...

11.12.2014, 16:39

Guppi12

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Zitat:

@Guppi12 Ne quatsch, das kann ja gar nicht hinreichend sein, weil es ja sowieso ne Nullfolge sein muss. verwirrt Wahrscheinlich hab ich gar nicht das gemacht, was du von mir wolltest...

richtig.

Ich dachte auch mehr an Erweitern als an einfaches multiplizieren

Zitat:

@HAL 9000: Ich denke mein Tutor würde dann von mir erwarten, dass ich erst mal zeige, dass diese Majorante konvergiert Augenzwinkern Die hatten wir zumindest noch nicht in der Vorlesung.

Nunja, das würde auch HAL jetzt von dir noch erwarten (denke ich mal). Ich würde aber vorschlagen, dass wir erst mal den einen Weg zu Ende führen. Es sei denn, du möchtest es lieber anders versuchen.

11.12.2014, 17:01

Cyvasse

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Boing! Du hast Recht. Hammer

$\begin{eqnarray*} \sqrt{k^4+1} - k² = \frac {(\sqrt{k^4+1} - k²)(\sqrt{k^4+1} + k²)}{\sqrt{k^4+1} + k²} = \frac {1}{\sqrt{k^4+1} + k²} < \frac {1}{k²} \Rightarrow \text {Die Reihe konvergiert} \end{eqnarray*}$

So wahrscheinlich, oder?

11.12.2014, 17:14

Guppi12

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Richtig

11.12.2014, 17:18

Cyvasse

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Vielen Dank!

12.12.2014, 00:36

HAL 9000

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Und das oben war nur eine quadratische Ergänzung

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \left( \sqrt{k^4+1+\frac{1}{4k^4}} - k^2 \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \sqrt{\left(k^2+\frac{1}{2k^2}\right)^2} - k^2 \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left( k^2+\frac{1}{2k^2} - k^2 \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k^2} \end{align*}$ . Augenzwinkern

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