Dirichlet-Funktion Lebesgue-Integrierbar? |
| 11.12.2014, 16:37 | icetea01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Dirichlet-Funktion Lebesgue-Integrierbar? f:[a,b] -> f(x) : = { 1 für x , 0 sonst (für alle reelle Zahlen ohne der Menge ) Warum ist diese Funktion nicht Lebesgue-integrierbar? In einem Buch wird damit argumentiert: weil U(f) (das ist die Unstetigkeitsmenge) = [a,b], was mir irgendwie nicht klar ist. Im üblichen Fall, d.h. f: ->, wär die Dirichlet-Funktion lebesgue-integrierbar, weil die Menge der rationalen Zahlen eine Nullmenge ist. Nun hab ich ein Intervall, und noch immer rationale Zahlen. Warum ist die Unstetigkeitmenge hierbei keine Nullmenge? Bin für jeden Hinweis dankbar! 
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| 11.12.2014, 17:21 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Diese Funktion ist Lebesgue-integrierbar. Die Unstetigkeitsmenge ist in der Tat keine Nullmenge, das ist sie aber auch nicht, wenn man die Funktion betrachtet. |
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| 11.12.2014, 17:36 | icetea01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sie ist Lebesgue-integrierbar? Aber das wär doch ein Widerspruch zum Lebesgue'schem Krieterium: Eine auf einem kompakten Quader Q ... beschränkte Funktion f:Q-> ist genau dann integrierbar, wenn sie fast überall stetig ist. Für das Beispiel da oben ist sie aber fast überall unstetig. Also müsste sie nicht Lebesgue-integrierbar sein, oder? P.S. Ja, im zweiten Fall ist die Unstetigkeitsmenge auch keine Nullmenge. Da hatte ich nen Denkfehler. Aber da heißts wiederum, dass sie trotzdem Lebesgue-integrierbar ist ?? (z.B. laut Wikipedia >>> http://de.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Funktion). |
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| 11.12.2014, 17:48 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich gebe zu, das ist verwirrend, aber bei dem Lebesgueschen Kriterium, das du zitierst, geht es um Riemann-integrierbarkeit. Und - in der Tat - beide Funktionen, um die es hier geht, sind nicht Riemann-integrierbar. |
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| 11.12.2014, 22:01 | icetea01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, ich hab das aus einem Buch (Aulbach) und da steht ganz klar "Lebesgue'sches Kriterium" davor. Mich verwirrt das, weil es heißt die Dirichlet Funktion sei Lebesgue-integrierbar, aber nicht Riemann-integrierbar, jedoch ist die Unstetigkeitsmenge keine Nullmenge, also ein Widerspruch. 
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| 11.12.2014, 22:09 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum darf es in dem Kriterium nicht um Riemann-Integrierbarkeit gehen, nur weil es Lebesguesches Kriterium heißt? Das ist es, was ich dir mit meinem Beitrag sagen wollte. Mir ist schon bewusst, dass das Kriterium so heißt. |
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| 11.12.2014, 22:18 | icetea01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was heißt, "es geht um Riemann-Integrierbarkeit" ? |
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| 11.12.2014, 22:23 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Damit meine ich, dass das, was du im Satz als integrierbar bezeichnet hast, genauer Riemann-integrierbar heißen müsste. Es ist damit nicht Lebesgue-integrierbar gemeint. |
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| 11.12.2014, 22:29 | icetea01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, dann ist die oben genannte Dirichlet-Funktion Lebesgue-integrierbar? Wie ist nun das Lebesgue-Kriterium? |
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| 11.12.2014, 22:34 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau.
Verstehe die Frage nicht. Das Lebesgue-Kriterium hast du doch oben genannt. Nur dass man integrierbar durch Riemann-integrierbar ersetzen muss. |
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| 11.12.2014, 22:46 | icetea01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, und nach diesem Kriterium ist die genannte Dirichlet-Funktion nicht Lebesgue-integrierbar. Also meine Frage: warum ist sie dennoch Lebesgue-integrierbar, wenn ihre Unstetigkeitsmenge keine Nullmenge ist? 
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| 11.12.2014, 22:48 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das Kriterium macht doch überhaupt keine Aussage über Lebesgue-Integrierbarkeit. Ich verstehe nicht, warum du das immer wieder behauptest. Das Lebesguekriterium hat mit Lebesgue-Integrierbarkeit nichts zu tun. |
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| 11.12.2014, 22:52 | icetea01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, dann hab ich das verwechselt. Wie ist dann die Lebesgue-Integrierbarkeit definiert? |
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| 11.12.2014, 23:05 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, jetzt verstehe ich erst, wo das Problem liegt. Da du den Begriff des Lebesgueintegrals die ganze Zeit benutzt, dachte ich, du kennst dich damit bereits etwas aus. Leider kann ich dir die Definition des Lebesgueintegrals kaum in einem Forumsbeitrag vermitteln, ohne 10 weitere Fragen über neue Begriffe, die dafür gebraucht werden, aufzuwerfen. An der Uni wird für das Lebesgueintegral gut und gerne mal ein halbes Semester verbraucht, das kann man nicht in zwei Sätzen erklären
Die Lebesgue'sche Integrationstheorie ist um ein vielfaches mächtiger, als die Riemannsche Integrationstheorie, dafür ist sie aber auch etwas komplizierter aufgebaut. Wenn dich das wirklich interessiert, dann empfehle ich dir, die Grundlagen erstmal in einem Buch anzusehen und bei Verständnisfragen dann hier wieder nachzufragen. |
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| 11.12.2014, 23:32 | icetea01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, ich hab mich eben nur mit dem "Lebesgue'schem Kriterium" befasst, und hab es dann eben mit der Lebesgue-Intergrierbarkeit gleich gesetzt. Mein Fehler, sry. Aber danke für deine Hilfe! 
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