Ganze Funktion mit n Nullstellen

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11.12.2014, 16:37	Nobundo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganze Funktion mit n Nullstellen Hallo, ich möchte gerne die folgende Aussage beweisen (oder widerlegen)ä Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} \end{eqnarray}$ holomorph und besitze $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Nullstellen (Vielfachheit mitgezählt, also zb 3 fache Nullstelle zählt 3 mal). Dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Für ganze Funktionen kenne ich zb den Satz von liouville und den Satz von Weierstraß-Casorati und allgemeiner für holomorphe Funktionen den Identitätssatz, bekomme aber keinen vielversprechenden Ansatz zu Stande. Gruß Nobundo
11.12.2014, 16:48	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du keinen Ansatz findest...hast du es schon einmal mit Gegenbeispielen probiert?
11.12.2014, 16:58	Nobundo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das hab ich versucht, aber glaube die Aussage ist schon richtig.
11.12.2014, 19:33	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann einmal so formuliert: suche lieber nach einem Gegenbeispiel. Das Gegenbeispiel sollte natürlich kein Polynom sein...eventuell bietet es sich auch einmal an nach ganzen Funktionen zu suchen, die keine Nullstellen besitzen und mit diesen Funktionen etwas zu kombinieren.
11.12.2014, 22:03	Nobundo	Auf diesen Beitrag antworten »
aaah danke, ich glaube jetzt verstehe ich was du mir sagen willst. Ich war irgendwie zu sehr davon überzeugt das die aussage schon stimmten wird, aber wenn ich nochmal drüber nachdenke dann dürfte doch $\begin{eqnarray} f(z)=\text{exp}(z)-\text{exp}(z^2) \end{eqnarray}$ eine ganze Funktion sein, die wenn ich mich jetzt nicht irre nur eine Nullstelle in z=1 hat.
11.12.2014, 23:30	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, diese Funktion hat noch mehr Nullstellen. Zumindest die reelle Nullstelle in $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ sollte man sofort sehen. Und darüber hinaus könnte man mit der Periodizität der Exponentialfunktion noch nach weiteren Nullstellen suchen. Kombinier doch einmal ein harmloses Polynom mit einer harmlosen e-Funktion.
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11.12.2014, 23:36	Nobundo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja hast Recht so wie oben gehts nicht durch. Habe gar nciht daran gedacht das eine von den Funktionen die man kombinieren kann ja ein Polynom sein darf. Es konnte vielleicht einfach mit f(z)=exp(z)-z klappen Edit: Ne ist glaub ich schon wieder Quatsch, komme auf kein Gegenbeispiel.
12.12.2014, 11:03	Nobundo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok hab es jetzt doch raus, man nimmt einfach ein Polynom vom Grad n und multpliziert es an die Exponentialfunktion: f(z)=p(z)exp(z) und hat dann ein Gegenbeispiel.
12.12.2014, 11:20	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das hatte ich gemeint.
12.12.2014, 11:21	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} \exp(z)-z \end{eqnarray}$ geht es übrigens wirklich nicht: $\begin{eqnarray} z\exp\left(\frac 1z\right) \end{eqnarray}$ hat eine wesentliche Singularität in $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und nimmt den Wert $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ in keiner punktierten Umgebung der $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ an. Nach dem großen Satz von Picard gibt es dann unendlich viele $\begin{eqnarray} z\neq 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z\exp\left(\frac 1z\right)= 1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \exp\left(\frac 1z\right)-\frac{1}{z} = 0 \end{eqnarray}$ . Also hat $\begin{eqnarray} \exp(z)-z \end{eqnarray}$ unendlich viele Nullstellen.

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