Projektion - Gram-Schmidt

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11.12.2014, 17:37	snapdragon1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Projektion - Gram-Schmidt Hi, ich verzweifele leider an einer Aufgabe, bei der ich nicht weis, was ich tun soll . Aufgabenstellung: Sei C(-1,1]) der auf [-1,1] stetigen Funktion. Auf diesem ist ein Skalarprodukt gegeben durch <f,g>= \int_(-1)^1 \! f(x)g(x) \, dx Bestimmen Sie bezüglich dieses Skalarprodukt die Projektion der Funktion f : [-1,1] -> [-1,1] x -> cos (pi x) auf den Unterraum U von C[-1,1], der von den Legendre Polynom p0,p1 und p2 aufgespannt wird. Es gab an unserer Uni eine Übungsaufgabe die sehr ähnlich war. Allerdings verstand ich die vorne und hinten schon nicht. Dort wurde mit dem Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren gearbeitet und b0,b1,b2 bestimmt: Dann wurde das Skalarprodukt von f mit b0,b1, und b2 gebildet. Allerdings verstehe ich das alles nicht. Mein Lösungsvorschlag: Die Legendre-Polynoms müssten p0(x)=1 p1(x)=x p2(x)=1/2 * (3x^2-1) sein. Nun müsste man wahrscheinlich <p1,b0> bestimmen. Nur daran scheiterts schon
11.12.2014, 18:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Projektion - Gram-Schmidt Hier ist es ein wenig einfacher, weil die Legendrepolynome bgzl. des gegebenen Skalarproduktes bereits orthogonal sind. Du brauchst also nur noch zu normieren, das habt ich bei Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren auch getan. Es geht also als erstes darum, die Skalarprodukte $\begin{eqnarray} <p_i,p_i> \end{eqnarray}$ für i=1,2,3 zu berechnen
12.12.2014, 13:00	snapdragon1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo URL, danke für die Antwort aber leider kann ich damit nichts anfangen. Ich weis einfach nicht wie ich anfangen soll ...
12.12.2014, 13:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Aller Angang ist leicht : $\begin{eqnarray} <p_0,p_0>=\int_{-1}^1 11 dx=2 \end{eqnarray*}$
13.12.2014, 11:40	snapdragon1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, irgendwie bin ich mir nicht sicher, was ich da gerade rechne. Ich hab jetzt so weitergemacht (unter der Voraussetzung, dass die oben genannten Legendre-Polynome so stimmen): b0 = <p0,p0> = 2 <p1,b0> = 2 p1 - <p1,b0> = x - 4 b1 = \|\| p1 <p1,b0>b0 \|\|^2 = 0 <p2,b0> = 2 <p2,b1> = 0 p2 - <p2,b0>b0 - <p2,b1>b1 = 3/2x^2 - 9/2 b2 = \|\| p2 - <p2,b0>b0 - <p2,b1>b1 \|\| ^2 = 9/10 - 108/12 + 162/4 Irgendwie sieht das total falsch aus . Danach muss man doch die Projektion berechnen oder ?
13.12.2014, 12:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was machst du da ? URL hat doch schon gesagt, dass die Legendre-Polynome ein Orthogonalsystem bilden. Das kannst du leicht nachrechnen, indem du ein paar Integrale berechnest. Dann normalisierst du die 3 Polynome zu einem Orthonormalsystem (simple Division). Zum Schluß f auf U projizieren (die Koeffizienten sind wieder Skalarprodukte, also Integrale).
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13.12.2014, 17:16	snapdragon1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir da nicht so sicher was ich mache. Wir haben nur ein einziges Übungsbeispiel gerechnet und ich habe das genau so gemacht, wie das in der Übung gemacht wurde. Ich bin mir mit diesen Legendre-Polynomen nicht sicher .
13.12.2014, 17:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind drei völlig harmlose Polynome. Der Trick steckt darin, dass auf einem Vektorraum ein Skalarprodukt definiert ist. Sobald das definiert ist, kann man bei den Vektoren von Längen und Winkeln sprechen. Damit hat Euklid vor langer Zeit angefangen, und es ist auch heute noch nützlich.
13.12.2014, 22:37	snapdragon1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn an meiner Lösung oben falsch?
13.12.2014, 23:47	snapdragon1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte jetzt folgendes gemacht: <p0,p0> = 2 dann normieren: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{\sqrt{\|\|<po,po>\|\|} } <po,po> = \frac{1}{\sqrt{2} } * 2 = \frac{2}{\sqrt{2} } = p0_n<br /> \end{eqnarray}$ dann orthogonalisieren von Nummer2: $\begin{eqnarray} <br /> p2 - <p2, p0_n> p0_n<br /> \end{eqnarray*}$ Wenn's nicht stimmt, bitte mir eine Antwort geben die man verstehen kann -.-
14.12.2014, 12:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Wir haben schon mehr als einmal (verständlich) gesagt, dass die 3 Legendre-Polynome orthogonal sind. Rechne die Integrale aus, dann siehst du, dass $\begin{eqnarray} <p0,p1>=<p0,p2>=<p1,p2>=0 \end{eqnarray}$ ist. Das und nichts anderes bedeutet "orthogonal". 2. Normalisieren der Polynome hat den Sinn, die orthogonalen Polynome auf die Länge 1 zu normalisieren. $\begin{eqnarray} pi_n=\frac {pi}{\|\|pi\|\|}=\frac {pi}{\sqrt {<pi,pi>} } \end{eqnarray}$ . Zum Beispiel $\begin{eqnarray} p0_n=\frac {p0}{\sqrt {<p0,p0>}}=\frac {p0}{\sqrt 2}\Rightarrow<p0_n,p0_n>= \int_{-1}^1 p0_n p0_ndx=\int_{-1}^1\frac 1 {\sqrt 2}\frac 1 {\sqrt 2}dx=\int_{-1}^1\frac 12 dx=1 \end{eqnarray}$ .

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