Äquivalenz von Injektivität und Monotonie zeigen

11.12.2014, 19:01

janiho

Äquivalenz von Injektivität und Monotonie zeigen

Hallo,

wir sollen zeigen, dass eine stetige Funktion auf einem Intervall genau dann injektiv ist, wenn sie streng monoton ist.

Ich gehe von folgender Abbildung aus: $\begin{eqnarray*} f: D \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wir haben injektivität folgendermaßen definiert:
$\begin{eqnarray*} \forall x_{1}, x_{2} \in D: f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2} \end{eqnarray*}$

Und (strenge) Monotonie folgendermaßen:
streng monoton wachsend: $\begin{eqnarray*} \forall x_{1}, x_{2} \in D: x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2}) \end{eqnarray*}$
streng monoton fallend: $\begin{eqnarray*} \forall x_{1}, x_{2} \in D: x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2}) \end{eqnarray*}$

Da sich schon die Definitionen sehr ähneln, ist meine Idee, die Äquivalenz mit folgendem Zwischenschritt zu zeigen, welcher (wie ich vermute) zu beiden Definitionen äquivalent ist:
$\begin{eqnarray*} x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}) \end{eqnarray*}$

Mein nächster Gedanke war, dass das zu einfach gewesen sein muss, um richtig zu sein.
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen! :-)

11.12.2014, 19:11

Injektiv

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Du möchtest eine Äquivalenz zeigen. Das heißt du musst Hin und Rückrichtung verifizieren.

Monotonie $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Injektivität

Injektivität $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Monotonie

Sei f injektiv, dann ist ....

Und nun folger die Monotonie.
Analog

Sei f monoton, dann ist ...

und du folgerst eben die Injektivität.

11.12.2014, 19:27

janiho

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Na ich vermutete eben, dass ich das mit dem von mir erwähnten Term bereits getan habe.

Aus Injektivität folgt Monotonie:
$\begin{eqnarray*} (f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}) \Rightarrow (x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})) \Rightarrow (x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2}) \vee x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2})) \end{eqnarray*}$

Aus Monotonie folgt Injektivität:
$\begin{eqnarray*} (x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2}) \vee x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2})) \Rightarrow (x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})) \Rightarrow (f(x_{1}) = f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}) \end{eqnarray*}$

11.12.2014, 21:36

Shalec

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Aus der Injektivität und das $\begin{eqnarray*} x_1<x_2 \end{eqnarray*}$ ist, folgt nich, dass $\begin{eqnarray*} f(x_1)<f(x_2) \end{eqnarray*}$ gilt. Wie sieht es denn mit $\begin{eqnarray*} f(x)=-x \end{eqnarray*}$ aus?

Die Googleeingabe "stetige funktion injektiv streng monoton beweis" lieferte einen Treffer für
stetig & injektiv => streng monoton.

stetig und streng monoton => injektiv
Definition für strenge Monotonie anwenden und Definition der Injektivität herleiten. Dabei genügt der Teil deines Beweises. Es fehlen nur ein paar Kommentare (für einige Tutoren...).

Eine Frage an dich: Brauchst du in diesem Beweis überhaupt an irgend einer Stelle die Stetigkeit? Was wäre denn, wenn die Funktion nicht stetig wäre? (Hilfe am Ende)

(Beispiel: 1/x , injektiv; nicht streng monoton.)

11.12.2014, 21:55

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Shalec
Eine Frage an dich: Brauchst du in diesem Beweis überhaupt an irgend einer Stelle die Stetigkeit? Was wäre denn, wenn die Funktion nicht stetig wäre? (Hilfe am Ende)

(Beispiel: 1/x , injektiv; nicht streng monoton.)

Dieses Beispiel zeigt aber nicht, dass es notwendig ist, Stetigkeit vorauszusetzen. Die Funktion ist nämlich auf ihrem gesamten Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ stetig. Allerdings ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ kein Intervall...

11.12.2014, 23:11

janiho

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Ich habe immer noch nicht verstanden, was an meinem Vorgehen falsch ist und wofür ich die Stetigkeit benötige. Ich danke euch für eure Hilfe, aber ich kann diese Argumentation leider nicht wirklich nachvollziehen:

Zitat:

Original von Shalec
Aus der Injektivität und das $\begin{eqnarray*} x_1<x_2 \end{eqnarray*}$ ist, folgt nich, dass $\begin{eqnarray*} f(x_1)<f(x_2) \end{eqnarray*}$ gilt. Wie sieht es denn mit $\begin{eqnarray*} f(x)=-x \end{eqnarray*}$ aus?

Also: Dass die Funktion stetig bzw. der Definitionsbereich ein Intervall sein muss habe ich verstanden. Nur leider noch nicht weshalb das so ist.

11.12.2014, 23:20

Guppi12

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Da die anderen gerade nicht da sind, übernehme ich mal solange.

Das Problem an deinem Beweis ist, dass diese Implikation hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})) \Rightarrow (x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2}) \vee x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2})) \end{eqnarray*}$

einfach nicht richtig ist. Wie kommst du darauf, dass das stimmt?

Die Rückrichtung (Aus Monotonie folgt Injektivität) stimmt so zwar, zumindest wenn man noch ein $\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ an der richtigen Stelle einfügt, würde ich aber, wenn ich das korriegieren würde, wegen mangelnder Begründung so auch nicht durchgehen lassen.

Edit: Übernimm gerne, URL, wenn du magst smile

11.12.2014, 23:27

URL

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$\begin{eqnarray*} x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}) \end{eqnarray*}$ ist nicht äquivalent zur Monotonie sondern nur eine Folgerung davon. Zum Beispiel ist
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x & \;\mbox{für}\, 0\leq x \leq1 \\ 3-x & \;\mbox{für}\; 1<x<2 \end{cases} \end{eqnarray*}$
injetiv aber nicht monoton weil eben nicht stetig.
Edit: Zu spät Wink

12.12.2014, 01:08

janiho

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Vielen Dank auch für eure Hilfe!

Zitat:

Original von Guppi12
Wie kommst du darauf, dass das stimmt?

Ich habe mir schon gedacht, dass es dort hakt. Mein Gedanke dazu war: Wenn $\begin{eqnarray*} x_{1} \neq x_{2} \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ entweder größer oder kleiner als $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ aber erstmal nur Variablennamen sind, habe ich gedacht, kann ich einfach erstmal $\begin{eqnarray*} x_{1} < x_{2} \end{eqnarray*}$ festlegen. Dass daraus dann $\begin{eqnarray*} f(x_{1}) > f(x_{2}) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x_{1}) < f(x_{2}) \end{eqnarray*}$ folgt, habe ich wieder damit begründet, dass ja $\begin{eqnarray*} f(x_{1}) \neq f(x_{2}) \end{eqnarray*}$ ist. Dass dieses Vorgehen nicht in Ordnung ist war mir nicht klar. Und genau da liegt auch meistens mein Problem bei Mathe. Wenn ich die Lösung sehe ist der Weg dorthin natürlich immer sehr einleuchtend. Wenn ich selbst den Lösungsweg finden muss, weiß ich aber oft nicht, was ich darf und was nicht und was notwendig und was nicht. Da hilft dann oft nur stundenlanges googlen und in Foren schreiben. Hammer

Die Begründung zum Weg Monotonie -> Injektivität wird in der Abgabe natürlich noch ergänzt. Der Beweis zum Weg Injektivität (+Stetigkeit) -> Monotonie funktioniert, wie ich durch google herausgefunden habe wohl wieder mit Hilfe des Zwischenwertsatzes. Ich und das Internet bekommen das schon hin. Also nochmal vielen Dank für eure Hilfe! :-)

12.12.2014, 01:16

Guppi12

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Wir können das gerne erörtern.

Du möchtest ja folgendes:

Gegeben die Aussage $\begin{eqnarray*} (x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})) \end{eqnarray*}$

möchtest du
$\begin{eqnarray*} (\forall x_1,x_2\in D: ~(x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2}))\quad \vee \quad (\forall x_1,x_2\in D:~( x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2})) \end{eqnarray*}$ folgern.

Das Problem ist jetzt das folgende. Ist $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$ , so kannst du mit Hilfe der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} f(x_1)\neq f(x_2) \end{eqnarray*}$ folgern. Tatsächlich gilt dann auch entweder $\begin{eqnarray*} f(x_1) < f(x_2) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x_1) > f(x_2) \end{eqnarray*}$ .

Das heißt du bekommt für feste $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$ immer eine der Aussagen $\begin{eqnarray*} f(x_1)<f(x_2) \end{eqnarray*}$ oder umgekehrt. Das Problem ist aber, dass es von $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ abhängen kann, ob da ein $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ steht. Das ist aber bei dem zu zeigenden nicht erlaubt. Es muss entweder immer $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ oder immer $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ sein.

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