Divergenz und Konvergenz mit Cauchy Verdichtungskriterium

11.12.2014, 21:47	Struck	Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz und Konvergenz mit Cauchy Verdichtungskriterium Meine Frage: Hallo, ich muss bestimmen ob die folgenden 2 Reihen Divergent oder Konvergent sind, am besten mit Hilfe des Cauchy'schen Verdichtungssatz. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{(lnk)^3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{(lnk)^{lnk} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe leider nicht viele Ideen, wie ich da ran gehen soll. für die erste habe ich bisher mal versucht: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{lnk^3} = \sum\limits_{k=2}^\infty 2^k \frac{1}{2^{k3}} = q^k mit q = 2^{-2k} \end{eqnarray*}$ hoffe ihr könnt mir zu sehr später stund noch einen Tipp geben. Viele Grüße Struck
11.12.2014, 21:57	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Divergenz und Konvergenz mit Cauchy Verdichtungskriterium $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{lnk^3} \textcolor{red}{=} \sum\limits_{k=2}^\infty 2^k \frac{1}{2^{k3}} \end{eqnarray}$ ist schon mal ganz falsch. Wenn man die Konvergenz einer Reihe $\begin{eqnarray} \sum a_k \end{eqnarray}$ mittels Cauchy Verdichtungssatz untersuchen will, hat man zunächst zwei Eigenschaften der $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ zu überprüfen und betrachtet dann $\begin{eqnarray} \sum 2^ka_{2^k} \end{eqnarray}$ . Tu das für dein erstes Beispiel.
11.12.2014, 22:03	Struck	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach stimmt, ok ich habe jetzt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(lnk)^3} \geq \frac{1}{(lnk+1)^3} \end{eqnarray}$ damit gilt, dass die Folge monoton fallend ist. Da der Nenner der linken Seite der Ungleichung immer kleiner ist als der auf der rechten Seite. Somit wird die linke Seite immer größer der rechten sein. Und sie hat keine negativen Zahlen, da der natürliche Logarithmus auch immer eine positive zahl ergibt.

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