Kreissektor mittels Integral berechnen

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12.12.2014, 10:29	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreissektor mittels Integral berechnen Hallo, ich hab folgendes Problem bei 99: Bsp. 98) habe ich so gelöst: Ich drehe den Kreis so, sodass ein Schenkel die x-Achse überdeckt. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} r \cdot cos(t) \\ r \cdot sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} t\in [\mu, 2 \pi] \end{eqnarray}$ Sektorfläche: $\begin{eqnarray} F=\frac{1}{2} \int_\mu^{2 \pi} \! (xy'-x'y) \, dt =\frac{1}{2} \int_\mu^{2 \pi} \! (r² cos(t)²+r² sin(t)²) \, dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F=\frac{1}{2} \int_\mu^{2 \pi} \! r² \, dt =r² \pi- \frac{1}{2} r² \mu \end{eqnarray}$ Umfang: $\begin{eqnarray} \int_\mu^{2 \pi} \! \sqrt{(x')²+(y')²} \, dt+2r=...=\int_\mu^{2 \pi} \! r\, dt +2r=r(2 \pi -\mu +2) \end{eqnarray}$ ich glaube diese Lösungen sind richtig... aber jetzt bei Bsp. 99: Ich vermute ich brauche diese Formeln: Masse der Kurve: $\begin{eqnarray} M=\int_a^b \! \delta(t) \cdot \sqrt{(x')²+(y')²} \, dt \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \delta(t)=1 \end{eqnarray}$ (konstant) $\begin{eqnarray} s_{i} =\frac{1}{M} \int_a^b \! x_{i}(t) \delta(t) \cdot \sqrt{(x')²+(y')²} \, dt<br /> \end{eqnarray}$ aber werden jetzt die Innenschenkel des Kreises auch berücksichtigt? Ist es dann überhaupt möglich, dass der Schwerpunkt des Drahtes im Ursprung liegt? Danke, für eure Antworten. [attach]36426[/attach]
14.12.2014, 11:29	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreissektor mittels Integral berechnen Hallo, hat schon jemand eine Idee ob die Schenkel zum gebogenen Draht auch gehören oder wie ist es aus der Angabe zu verstehen. DANKE
14.12.2014, 11:58	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreissektor mittels Integral berechnen Die Kurve aus 98 ist der Kreissektor inklusive der beiden Schenkel. Diese Kurve wird in 99 durch Draht realisiert. Also gehören die Schenkel dazu.
14.12.2014, 17:28	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreissektor mittels Integral berechnen aber ist es dann möglich, dass der Schwerpunkt des Drahtes genau im Ursprung liegt?
14.12.2014, 17:42	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreissektor mittels Integral berechnen Warum nicht?
14.12.2014, 21:35	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreissektor mittels Integral berechnen Okay, nun glaube ich es geht doch. aber welche Parameterform(en) würdest du für dieses bsp. wählen. oder ist es geschickt den Kreisbogen als Parameterform zu integrieren und die Gerade wie gehabt in kartesischen koordinatensystem?
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14.12.2014, 21:41	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreissektor mittels Integral berechnen Auf dem Kreisbogen ist der Radius konstant, der Winkel veränderlich. Auf den Schenkeln ist der Winkel konstant, der Radius veränderlich. Das geht doch wunderbar in ebenen Polarkoordinaten.
15.12.2014, 19:19	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreissektor mittels Integral berechnen Ist das richtig wenn ich sage: Parametrisierung des Kreises: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} r \cdot cos(t) \\ r \cdot sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t\in [\frac{\mu}{2} , 2 \pi- \frac{\mu}{2} ] \end{eqnarray}$ Parametrisierung der Schenkel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} r \cdot cos(\frac{\mu}{2} ) \\ r \cdot sin(\frac{\mu}{2} ) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t\in [0, \frac{\mu}{2} ] \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} r \cdot cos(\frac{\mu}{2} ) \\ -r \cdot sin(\frac{\mu}{2} ) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t\in [\frac{- \mu}{2},0 ] \end{eqnarray}$
15.12.2014, 20:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreissektor mittels Integral berechnen Parametrisierung des Kreisbogens ist in Ordnung. Er entspricht natürlich nicht der Skizze aus der Aufgabenstellung, aber ich denke, das ist hier erlaubt. Die Parametrisierung der Schenkel stimmt so nicht. Was ist die Variable? Welche Werte kann sie annehmen?

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