Determinante berechnen und Umkehrmatrix ermitteln

12.12.2014, 10:51	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante berechnen und Umkehrmatrix ermitteln Meine Frage: Hallo, ich soll die Determinante und (falls detA ungleich 0) die Umkehrmatrix von A mit Koeffizienten im Ring mit zwei elementen (vormals mit {u,g} bezeichnet) bestimmen. die Matrix A lautet 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 Meine Ideen: die Determinante von A habe ich ermittelt und beträgt -1 (ich habe den Laplacsechen Entwicklungssatz verwendet). damit muss auch eine Umkehrmatrix oder inverse Matrix von A existieren. Beziehen sich diese koeffizienten aus dem Ring auf die Elemente 0 und 1?? Heißt das also, dass die Umkehrmatrix nur aus koeffizienten 0 und 1 bestehen darf, oder wie soll ich das verstehen? Das u und g soll wohl eine Notation für ungerade und gerade Zahlen in einem Ring stehen. also kann u für die 0 und g für die 1 stehen, oder?? Ich habe versucht, die Matrix A nach dem Gauß-Jordan-Verfahren in eine Einheitsmatrix zu überführen, z.b. durch zeilen- oder spaltenvertauschungen, allerdings weiß ich nicht, wie ich durch geeignete Zeilen(Spalten-)addition eine inverse matrix von A erhalten soll. Über Hilfe würde ich mich freuen!!!
12.12.2014, 11:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ring $\begin{eqnarray} \mathbb F_2=\{0,1\} \end{eqnarray}$ mit 2 Elementen ist ein Körper. Wegen $\begin{eqnarray} 1+1=0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} det(A)=-1=1 \end{eqnarray}$ . Die inverse Matrix muss wieder aus Elementen 0 und 1 bestehen. Der Algorithmus funktioniert so wie immer, nur musst du stets in $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ rechnen. Grund: Lineare Algebra funktioniert in Vektorräumen über beliebigem Körper K.
12.12.2014, 23:03	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, lautet die Inverse dieser Matrix 01010 00101 11101 01011 00111 ????? Ich habe auch die Probe durchgeführt, sprich die Matrizen multipliziert und gemäß den Rechenregeln im Körper F(2) operiert. Ich erhalte die Einheitsmatrix IE 5 . Nochmals vielen Dank für deine Hilfe!!!
13.12.2014, 11:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil rechnen in endlichen Körpern viel Spaß macht und in $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ besonders einfach ist, habe ich nachgerechnet. Mein Ergebnis stimmt mit deinem Ergebnis überein.

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