2 unabhängige Variablen im Exponenten

12.12.2014, 15:33

Student pi

2 unabhängige Variablen im Exponenten

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

ich komme leider nicht zu einer Lösung und wahrscheinlich ist mein Ansatz schon zu kompliziert. Ich hoffe Ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.

Aufgabe:
Gegeben ist die folgende Cobb-Douglas-Produktionsfunktion $\begin{eqnarray*} x(r_{1},r_{2})=8*r^{\alpha } _{1}*r^{\beta } _{2} \end{eqnarray*}$ , wobei x der Output, r 1 und 2 sind Inputfaktoren und Alpha und Beta sind konstante Faktoren die derzeit noch unbekannt sind.

Die Inputfaktoren müssen am Markt beschafft werden, ihre Preise (fest) sind vorgegeben mit $\begin{eqnarray*} p_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_{2} \end{eqnarray*}$ .

Wie lautet die konkrete Gleichung der Produktionsfunktion, wenn folgende Daten bekannt sind:

Wenn vom ersten Faktor 14.400 ME und vom zweiten Faktor 32.768 ME eingesetzt werden, so kann ein Output von 61.440 ME produziert werden.
Bei einem Input von 5.184 ME und 7.776 ME ergibt sich ein Output von 20.736 ME.

Meine Ideen:
Wenn ich das Ziel richtig verstanden habe, soll Alpha und Beta bestimmt werden. Dazu habe ich dann die Grundfunktion einmal nach Alpha und einmal nach Beta aufgelöst und hier dann die Funktion für Alpha eingesetzt und das ist dabei rausgekommen:

$\begin{eqnarray*} \beta =\frac{lnx-(\frac{lnx-\beta* ln8+\beta *lnr_{2} }{lnr_{1} })*ln8+(\frac{lnx-\beta *ln8+\beta *lnr_{2} }{lnr_{1} })*lnr_{1} } {lnr_{2} } \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich weder ob das richtig ist, noch wie es sinnvoll weitergeht. Und ich hoffe ins Geheim, dass es einen einfacheren Weg gibt.

Ich freue mich auf eure Anregungen smile

12.12.2014, 15:41

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 2 unabhängie Variablen im Exponenten
Deine Hoffnung kann bestätigt werden. Mit dem Wissen um $\begin{align*} a^x=e^{x \ln a} \end{align*}$ und $\begin{align*} e^a \cdot e^b = e^{a+b} \end{align*}$ kommst Du recht schnell auf ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.

Viele Grüße
Steffen

12.12.2014, 15:56

Student pi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 2 unabhängie Variablen im Exponenten
Hallo Steffen,

sehr gute Idee smile

dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \alpha =\frac{lnx-ln8-lnx+ln8+\alpha *r_{1} }{r_{1} } \end{eqnarray*}$

Kannst du das bestätigen?

12.12.2014, 16:01

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 2 unabhängie Variablen im Exponenten

Zitat:

Original von Student pi
Kannst du das bestätigen?

Ja, da steht nämlich nach Umformung $\begin{align*} \alpha =\alpha \end{align*}$

Aber das bringt uns nicht weiter. Augenzwinkern

Schreib die beiden Gleichungen mal hin und forme beide mit meinen Hinweisen um.

12.12.2014, 16:16

Student pi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 2 unabhängie Variablen im Exponenten
Alles klar:

$\begin{eqnarray*} \alpha =\frac{lnx-ln8-\beta*ln r_{2} }{lnr_{1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta =\frac{lnx-ln8-\alpha*ln r_{1} }{lnr_{2} } \end{eqnarray*}$

Und jetzt hatte ich mir gedacht, Alpha in Beta einzusetzen, was uns ja leider nicht weiter bringt unglücklich

Formeln direkt korrigiert, damit's übersichtlicher bleibt. Steffen

12.12.2014, 16:38

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 2 unabhängie Variablen im Exponenten
Doch, genau das ist der Weg. Beachte allerdings, dass x in den beiden Gleichungen nicht denselben Wert hat! Nennen wir's zur Unterscheidung x1 und x2.

Dann kannst Du $\begin{align*} \alpha =\frac{\ln x_1-ln8-\beta \cdot \ln r_{2} }{\ln r_{1} } \end{align*}$ in $\begin{align*} \beta=\frac{\ln x_2-ln8-\alpha \cdot \ln r_{1} }{\ln r_{2} } \end{align*}$ einsetzen und erhältst $\begin{align*} \beta=\frac{\ln x_2-ln8- \frac{\ln x_1-ln8-\beta \cdot \ln r_{2} }{\ln r_{1} } \cdot \ln r_{1} }{\ln r_{2} } \end{align*}$ .

Dann alles mit beta auf eine Seite, noch Werte für die Variablen (hätte ich schon früher gemacht, dann ist's etwas übersichtlicher) und fertig.

EDIT: Formel berichtigt.

12.12.2014, 16:56

Student pi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 2 unabhängie Variablen im Exponenten
Hallo Steffen,

hier muss irgendwo noch ein fehler sein, denn wenn ich Beta auf eine Seite bringen möchte passiert folgendes:

$\begin{eqnarray*} \beta =\frac{lnx_{2}-ln8-lnx_{1}+ln8+\beta lnr_{2}}{lnr_{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta =\frac{lnx_{2}-ln8-lnx_{1}+ln8}{lnr_{2} }+\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{lnx_{2}-ln8-lnx_{1}+ln8}{lnr_{2} } \end{eqnarray*}$

Und das kann ja nicht sein verwirrt

12.12.2014, 17:11

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 2 unabhängie Variablen im Exponenten
Ja, der Grund ist, dass ja auch r1 und r2 in den beiden Gleichungen verschiedene Werte haben! Das muss man auch berücksichtigen, mit z.B. r11, r12, r21 und r22.

Da das aber langsam recht viele Variablen werden, schlage ich vor, wir machen's gleich mit Zahlenwerten, dann sollte hoffentlich nichts durcheinanderkommen:

$\begin{align*} 8 \cdot 14400^{\alpha} \cdot 32768^{\beta} = 61440 \end{align*}$

$\begin{align*} 8 \cdot 5184^{\alpha} \cdot 7776^{\beta} = 20736 \end{align*}$

$\begin{align*} e^{\ln 14400 \cdot \alpha} \cdot e^{\ln 32768 \cdot \beta} = 7680 \end{align*}$

$\begin{align*} e^{ \ln 5184 \cdot \alpha} \cdot e^{\ln 7776 \cdot \beta} = 2592 \end{align*}$

$\begin{align*} \ln 14400 \cdot \alpha + \ln 32768 \cdot \beta = \ln 7680 \end{align*}$

$\begin{align*} \ln 5184 \cdot \alpha + \ln 7776 \cdot \beta = \ln 2592 \end{align*}$

Jetzt sollte es leichter gehen.

PS: übrigens würde ich nun eher das Additionsverfahren verwenden, nachdem die eine Gleichung auf denselben Faktor bei alpha gebracht wurde wie die zweite. Ist aber Geschmackssache.

12.12.2014, 18:18

Student pi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Steffen,

vielen Dank für deine Mühe, jetzt ist es wesentlich übersichtlicher smile

Ich poste meine Lösung morgen, weil ich jetzt auf eine Weihnachtsfeier muss Prost

Liebe Grüße

12.12.2014, 18:29

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem nun das LGS auf dem Tisch liegt, noch eine Alternative:
Da man es mit übersichtlichen und gutartigen ganzen Zahlen zu tun hat, kann man
$\begin{align*} 8 \cdot 14400^{\alpha} \cdot 32768^{\beta} = 61440 \end{align*}$
schnell umschreiben in
$\begin{align*} 2^3(2^63^25^2)^\alpha (2^{15})^\beta = 2^{12}\;3\;5 \end{align*}$
was einem direkt $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ und dann leicht $\begin{align*} \beta \end{align*}$ beschert.

13.12.2014, 12:04

Student pi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Zusammen,

bei mir kommt mit Hilfe des Additionsverfahrens folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \alpha =0,5 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \beta =0,4 \end{eqnarray*}$

13.12.2014, 13:20

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

A bissl gnauer kannts scho sei. Augenzwinkern

Wenn Du's einsetzt, kannst Du's leicht prüfen. Aber einigermaßen passt's schon mal.

Viele Grüße
Steffen

13.12.2014, 14:40

Student pi

Auf diesen Beitrag antworten »

Stark gerundet Augenzwinkern

Aber vielen Dank nochmal für deine Hilfe!

Neue Frage »

Antworten »

2 unabhängige Variablen im Exponenten

Verwandte Themen