Zentrale Momente Gaußverteilung in abhängigkeit der Standardabweichung

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Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »
Zentrale Momente Gaußverteilung in abhängigkeit der Standardabweichung
Meine Frage:
Hallo,

Betrachte die Gauß-Verteilung G(x) =
(2*pi*sigma^2)^(-0,5)*exp[-(x-lambda)^2/(2*sigma^2)], wobei sigma aus
positive reelle Zahl und x, lambda aus R.
Ich soll nun für die zentralen Momente mü(n) = integr. (x-lambda)^n*G(x) dx
zeigen, dass

mü(n) = sigma^n*(n-1)*(n-3)*...*1 für gerade n sowie
mü(n) = 0 für ungerade n gilt. (n aus N)

Meine Ideen:
Ich bin mir nicht sicher. Muss ich vielleicht irgendwie geschickt substituieren und partiell integrieren???

Vielen dank für eure Hilfe!!!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Widderchen
Muss ich vielleicht irgendwie geschickt substituieren und partiell integrieren???

Genau, damit erhältst du eine Rekursionsformel für die . Die beiden Startwerte und dürften ja bereits bekannt sein.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke HAL.

Allerdings bekomme ich Probleme bei der partiellen Integration. Mit der Substitution
t = (x - lambda)/sigma sieht meine Funktion mü(n) so aus:



Bei der partiellen Integration muss t^n als Ableitungsfunktion u´ und die Exponentialfunktion als v gesetzt werden, da eine Stammfunktion dieser Exponentialfunktion nicht durch elementare Funktionen darstellbar ist, oder??
Ist die oben im Integral dargestellte Funktion y-achsensymmetrisch???
Ich weiß, dass durch sukzessives partielles Integrieren irgendwann die Gamma-Funktion an der Stelle 1/2 vorliegen wird. Dieser Wert beträgt dann sqrt(pi)/2 und lässt sich dann mit dem Vorfaktor im obigen Integral kürzen.
Allerdings komme ich durch praktisches Rechnen nicht auf dieses Resultat, was mich extrem ärgert!! XD
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Widderchen
Bei der partiellen Integration muss t^n als Ableitungsfunktion u´ und die Exponentialfunktion als v gesetzt werden,

Muss? Kann! Und es ist einer der Wege, die zum Erfolg führen. Was hast du denn da raus?
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Also durch part. Integration erhalte ich:



Der andere Teil, der durch die part. Integration entsteht, verschwindet, ist also Null. Mit dem oben genannten Ausdruck komme ich nicht weiter, da ein Vorfaktor 1/(n+1) entsteht!!! Wie muss ich vorgehen???
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Widderchen

Richtig gerechnet, aber dann das Ergebnis nicht adequat gedeutet: Man kann dieses Ergebnis nämlich schreiben als

,

umgestellt zu . Mit einer entsprechenden Indexverschiebung kann man das auch schreiben als

.


Denn wie ich oben schon sagte:

Zitat:
Original von HAL 9000
Genau, damit erhältst du eine Rekursionsformel für die . Die beiden Startwerte und dürften ja bereits bekannt sein.
 
 
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast Recht. Ich muss in aller Eile das Wort "Rekursionsformel" übersehen haben.

Aber wie löse ich nun diese inhomogene lineare Rekursion zweiter Ordnung mit Startwerten 1 und 0???
Ich erinnere mich noch dunkel an das Rezept: Zunächst löse ich die homogene Rekursion 2. Ordnung, aber wir hatten das Lösen von Rekursionsgleichungen thematisch nicht behandelt.

Oder soll ich einfach sukzessive das Integral mü(n-2) lösen und daraus induktiv schließen, dass die Behauptung gilt???

Grüße
Widderchen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Widderchen
Oder soll ich einfach sukzessive das Integral mü(n-2) lösen und daraus induktiv schließen, dass die Behauptung gilt???

Sowas in der Art, ja. Zunächst ja folgt aus



sowie sofort, dass für alle ungeraden gilt. Das hätte man zwar auch anders haben können (Ungeradheit des Integranden), aber hier fällt es so nebenbei auch mit ab.

Für gerade bekommt man aus der Rekursionsgleichung sukzessive

,

und da , ist das die Behauptung. Statt mit "..." kann man das natürlich auch ordentlich als Induktionsbeweis aufziehen. Augenzwinkern
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