Ableitung nach t bei f(x,y)

12.12.2014, 18:59

Approx

Ableitung nach t bei f(x,y)

Ich bräuchte mal Hilfe bei folgender Aufgabe:

Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \frac{\delta f}{\delta t} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^{3} + 2xy + \frac{1}{2}y^{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x(t) = 2t^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(t) = \frac{1}{t^{2}} \end{eqnarray*}$ durch Anwendung der Kettenregel. Machen Sie die Probe, indem Sie $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Zunächst zur Probe: Ist es richtig, wenn ich einfach x und y einsetze?
$\begin{eqnarray*} f(t) = (2t^{2})^{3} + 2 \cdot 2t^{2} \cdot \frac{1}{t^2} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{t^{2}} )^{2} \ = \ 8t^{6} + 4 + \frac{1}{2t^{4}} \end{eqnarray*}$

Und inwiefern muss man eine Kettenregeln anwenden?

12.12.2014, 19:35

klauss

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RE: Ableitung nach t bei f(x,y)
Die Probe ist schon o.k. Wenn Du die ableitest, hast Du $\begin{eqnarray*} f'(t) \end{eqnarray*}$ .

Die Methode Kettenregel verstehe ich so, dass zunächst $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ nach t abgeleitet werden soll. Dabei sind aber $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ jeweils von t abhängig, weshalb die Kettenregel anfällt. Z. B. ist dann $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ abgeleitet $\begin{eqnarray*} 3x^2 \cdot x' \end{eqnarray*}$ . Du leitest also erst $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ formal mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab und setzt anschließend $\begin{eqnarray*} x(t), x'(t), y(t), y'(t) \end{eqnarray*}$ ein, dann muß wieder $\begin{eqnarray*} f'(t) \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Die dritte Möglichkeit wäre die verallgemeinerte Kettenregel mit Gradient + Jacobimatrix, aber ich nehme an, das ist hier nicht gefragt.

14.12.2014, 17:21

Approx

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Vielen Dank schon mal für den Tipp!

Also, bei der Probe habe ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} f(t) = 8t^{6} + 4 + \frac{1}{2t^{4}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(t) = 48t^{5} - \frac{2}{t^{5}} \end{eqnarray*}$

Als nächstes habe ich nach x abgeleitet und x'(t) und y(t) eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \delta f}{ \delta x} = 3x^{2} + 2y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ \delta f}{ \delta x} = 3(4t)^{2} + 2 \cdot \frac{1}{t^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ \delta f}{ \delta x} = 48t^{2} + \frac{2}{t^{2}} \end{eqnarray*}$

Hier kommen jetzt leider andere Exponenten raus als in der Probe..

Dann hab ich auch mal versucht, nach y abzuleiten und y'(t) und x(t) einzusetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \delta f}{ \delta y} = 2x + y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ \delta f}{ \delta y} = 4t^{2} - \frac{2}{t^{3}} \end{eqnarray*}$

Es kommt jedoch wieder etwas anderes raus.

Was hab ich falsch gemacht..? verwirrt

14.12.2014, 20:13

Helmi121

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Zitat:

Original von Approx
$\begin{eqnarray*} \frac{ \delta f}{ \delta y} = 2x + y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ \delta f}{ \delta y} = 4t^{2} - \frac{2}{t^{3}} \end{eqnarray*}$

Es kommt jedoch wieder etwas anderes raus.

Was hab ich falsch gemacht..? verwirrt

Also bei mir sieht das wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dt} = 3x^2 * x' + 0 * (x'*y + y'*x) + 2*y * y' \end{eqnarray*}$

Kettenregel, du behandelst $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ hier als Funktionen von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , also leitest du beides gleichzeitig ab. Nicht erst nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und dann nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Und das ganze nach der Kettenregel, also Äußere * Innere. Schreib dir das dann einfach wie oben auf und setze dann erst, die eigentliche Funktion für $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x',y' \end{eqnarray*}$ ein.

Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dt} = 3* 4t^4 * 4t + 0 + \frac{1}{t^2} * (-2) \frac{1}{t^3} = 48t^5 - 2 \frac{1}{t^5} \end{eqnarray*}$

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