Beweis: Konvergenz einer Folge impliziert Konvergenz der Folge der potenzierten Folgenglieder

13.12.2014, 00:50

neuerNutzer

Beweis: Konvergenz einer Folge impliziert Konvergenz der Folge der potenzierten Folgenglieder

Guten Abend,

ich soll zeigen:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} \left(x_{n}\right) \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge positiver reeller Zahlen mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray*} x := \lim_{n \to \infty} x_{n} \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass dann auch die Folge der Potenzen $\begin{eqnarray*} \left(x_{n}^{q}\right) \end{eqnarray*}$ konvergiert und dass für den Grenzwert gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_{n}^{q} = x^{q} \end{eqnarray*}$

Mein erster Gedanke dazu wäre eine Folgerung aus dem Chauchy-Kriterium, die sich für mich anschaulich ergibt:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 : \exists N \in \mathbb N : | x_{n} - x_{n + 1} | < \epsilon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall n \geq N \end{eqnarray*}$
Ab einem bestimmten N, von dem an der Abstand von zwei aufeinander folgenden Folgegliedern immer kleiner wird, kann die Differenz des Werts eines Folgeglieds zum Nachfolgerfolgeglied beliebig klein werden (je weiter nach "rechts" man sozusagen geht bzw. die Grenze N nach rechts verschiebt).
Stimmt das so und kann ich das direkt so folgern, oder muss ich hier noch einen Zwischenschritt/Zwischenbeweis einbauen?

Nunja, wenn das jedenfalls so richtig ist, komme ich intuitiv weiter:
Da die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder also beliebig klein werden kann ( $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ), gilt theoretisch bei beliebig kleinem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ (zumindest anschaulich, formal ist das natürlich keine wahre Aussage): $\begin{eqnarray*} x_{n} = x_{n+1} \end{eqnarray*}$ .
Und dann gilt natürlich auch: $\begin{eqnarray*} x_{n}^{q} = x_{n+1}^{q} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x^{q} = x^{q} \end{eqnarray*}$ und somit komvergiert auch die Folge der potenzierten Folgegliedern, da sich deren Folgeglieder irgendwann nur noch um einen beliebig kleinen Wert unterscheiden.

Natürlich ist dieser letzte Absatz weder Beweis noch mathematisch korrekt. Ich möchte damit nur zeigen, was für eine Vorstellung ich zur gegebenen Situation habe, damit gleich deutlich wird, ob ich mir das richtig vorstelle oder nicht.

Vorausgesetzt, das stimmt so - wie kann man das in die Sprache der Mathematik gießen?
Ich habe mir dazu schon ein paar Gedanken gemacht, komme aber auf keinen grünen Zweig.
Letztendlich geht es ja darum, dass die Differenz zweier benachbarter Folgeglieder der "Potenz-Folge" auch beliebig klein werden kann (Chauchy-Kriterium).
Da ich es aber nicht schaffe, diesen beliebig kleinen Abstand durch $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ auszudrücken, müsste ich heir einen weiteren griechischen Buchstabe einführen, sozusagen
$\begin{eqnarray*} <br /> \forall \gamma > 0 : \exists M \in \mathbb N : | x_{n}^{q} - x_{n + 1}^{q} | < \gamma \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall m \geq M<br /> \end{eqnarray*}$

Aber natürlich ist hiermit nichts gewonnen, da das ja sozusagen das ist, was man beweisen soll unglücklich

Ich bin für jeden Tipp oder Hinweis dankbar - auch wenn mein bisheriger Weg eine Sackgasse ist und die Lösung anders viel einfacher wäre Augenzwinkern

Viele Grüße
Philipp

13.12.2014, 10:07

IfindU

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Sobald du auch $\begin{eqnarray*} x_n^{1/k} \to x^{1/k} \end{eqnarray*}$ für natürliche k gezeigt hast, bist du also fertig, da Produkte und Quotienten konvergenter Folgen gut konvergieren.

Und wie üblich bei solchen Grenzwerten bietet sich die binomische Formel
$\begin{eqnarray*} a^k - b^k = (a - b) \cdot \sum_{l = 0}^{k-1} a^l b^{k - l -1 } \end{eqnarray*}$ an.

13.12.2014, 14:25

neuerNutzer

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Stimmt, Grenzwertsätze Hammer

Sehe ich das richtig dass man dann sozusagen eine Fallunterscheidung macht für $\begin{eqnarray*} q \geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q < 1 \wedge q > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q < 0 \wedge q > -1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} q < -1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} q \geq 1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} q < -1 \end{eqnarray*}$ lassen sich problemlos über Grenzwertsätze zeigen.

$\begin{eqnarray*} q < 1 \end{eqnarray*}$ soll dann also mittels der von dir angegebenen binomischen Formel funktionieren.
Dazu eine Frage: wiso $\begin{eqnarray*} x^{\frac {1}{k}} \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} q = \frac{2}{5} \in \mathbb Q < 1 \end{eqnarray*}$ lässt sich daraus doch z.B. mit keinem $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ darstellen?

Auch sonst stehe ich da auf dem Schlauch:
Ich würde die binomische Formel so anwenden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (x_{n}^{q} - x_{n + 1}^{q}) = \lim_{n \to \infty}(x_{n}-x_{n + 1})\sum\limits_{l=1}^{q - 1} x_{n}^{l}x_{n+1}^{q - l - 1} \end{eqnarray*}$

und dabei geht der erste Faktor gegen 0, die Summe ist immer 0, da $\begin{eqnarray*} q - 1 < 1 \end{eqnarray*}$ .
Das einzige was ich daraus rauslesen kann ist, dass die Folge tatsächlich auch für $\begin{eqnarray*} q < 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Aber das der Grenzwert tatsächlich $\begin{eqnarray*} x^{q} \end{eqnarray*}$ ist, kann ich daraus doch nicht folgern?

Ich nehme an, das ist nicht die Anwendung der binomischen Formel, die du meintest verwirrt

13.12.2014, 17:05

IfindU

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Du brauchst gar keine Fallunterscheidung. Nun kann man schreiben
$\begin{eqnarray*} x_n^{2/5} = x_n^{1/5} \cdot x_n^{1/5} \end{eqnarray*}$ .
Falls $\begin{eqnarray*} x_n^{1/5} \end{eqnarray*}$ konvergiert, konvergiert also das Produkt auf der rechten Seite und damit $\begin{eqnarray*} x_n^{2/5} \end{eqnarray*}$ .

Ferner folgt die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} x_n^{-1/k} = \frac 1{ x_n^{1/k}} \end{eqnarray*}$ , da der Quotient schön konvergiert.

Und die Idee mit der binomischen Formel war
$\begin{eqnarray*} | x_n^{1/k} - x^{1/k}| = \left|(x_n^{1/k} - x^{1/k}) \cdot \frac { \sum_{l = 0}^{k-1} x_n^l x^{k - l -1 } } { \sum_{l = 0}^{k-1} x_n^l x^{k - l -1 } }\right| \end{eqnarray*}$ zu schreiben.

14.12.2014, 12:44

neuerNutzer

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ah ok, danke für die Erklärung zu $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{k}} \end{eqnarray*}$

Leider muss ich zugeben dass ich mit der binomischen Formel noch immer nicht weiter komme.
Was du da gemacht hast, ist das entfernt sowas wie quadratisches Ergänzen (Hinzufügen eines Ausdrucks, der den Wert des Terms nicht verändert und Verrechnung von einem Teil von diesem Ausdruck mit dem bisherigen Term)?

Aber da steht doch überall $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{k}} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x^{k} \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} |x_{n}^{k} - x^{k} | = \left(x_{n} - x\right) \sum\limits_{l=0}^{k-1} x_{n}^{l}x^{k-1-l} \end{eqnarray*}$

Aber ich habe keinen Schimmer wie ich aus $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{k}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x^{k} \end{eqnarray*}$ machen kann :/ das sind doch letzendlich alles k-te Wurzeln?

Ich habe da jetzt mehrere Stunden dran geknobelt und alles mit der binomischen Formel angestellt, was man laut Wikipedia so anstellen kann - aber durch die rationale Potenz bleibe ich immer stecken.
Ohne einen weiteren Tipp werde ich das wohl nicht hinbekommen unglücklich

14.12.2014, 17:29

IfindU

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Du hast Recht, ich war unachtsam mit der Summe. Man ergänzt es natürlich mit den jeweiligen k-ten Wurzeln.

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