Satz von Sarkovskii

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daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Sarkovskii
Guten Tag,

ich soll folgendes beweisen:

Jede stetige Funktion , die einen Zyklus hat, hat auch einen Fixpunkt.

Ein Zyklus der Periode n ist dabei ein Fixpunkt der n-fachen Hintereinanderausführung von F.
Die Aussage folgt natürlich direkt aus dem Satz von Sarkovskii, doch den habe ich noch nicht zur Verfügung.

Ich habe schon unterschiedliche Ansätze probiert (Induktion über die Periode des Zyklus, Zwischenwertsatz, Urbild offener Mengen ist offen, ...), doch irgendwie komme ich auf keinen grünen Zweig und wäre über Hinweise sehr dankbar.

Freundliche Grüße
daLoisl
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,

sei und mit .

Dann können nicht alle das selbe Vorzeichen haben, es sei denn ist bereits ein Fixpunkt (warum?).

Wähle , so dass und unterschiedliche Vorzeichen haben. Daraus kannst du schließen, dass einen Fixpunkt hat. Siehst du, wie?
daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort.

Zitat:
Dann können nicht alle das selbe Vorzeichen haben, es sei denn ist bereits ein Fixpunkt (warum?).

Weil man sonst durch Addition (oder kleiner) erhielte, im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zitat:
Wähle , so dass und unterschiedliche Vorzeichen haben. Daraus kannst du schließen, dass einen Fixpunkt hat. Siehst du, wie?


Das sehe ich jetzt ehrlich gesagt nicht.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Denke an den Zwischenwertsatz.
daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich habe ewig dafür gebraucht, aber jetzt müsste ich es haben:

Für den Fall und :
Ich definiere . Damit gilt:

Also gilt
und mit dem Zwischenwertsatz:

Der andere Fall funktioniert dann analog.

Herzlichen Dank für die Hilfe!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön Freude
 
 
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