Tangente und Normale und Differenzenquotient!! Wichtig!!!

04.03.2007, 16:11

Deneydria

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Tangente und Normale und Differenzenquotient!! Wichtig!!!

Hey... ich hab ein gaanz großes Problem.. ich schreibe morgen eine Klausur in meinem Mathe LK und habe 2 Sachen noch überhauptnicht verstanden.
Wir haben als Übungsaufgabe diese hier gegeben:

Bestimmen sie die Gleichung der Tangente und der Normalen an den Graphen von f im Punkt P(x0/f(x0)).

a) f(x)= x³ - 1/2 x² ; x0= -1

Ich war krank, und hab das alles nur bruchweise erklärt bekommen. Und auch keine Musterlösung oder so etwas. Könnte mir jemand eine für diese Aufgabe geben?

Mein 2. Problem liegt bei den Differenzenquotienten.

Ich muss dort, eine lange Rechnung für die Ableitungen machen.
Ich weiß nur, dass man i-etwas mit x-a einsetzen muss... das will unsere Lehrerin von uns.

Aber sonst weiß ich garnichts.

Ich hab gesagt bekommen, dass man das mit jeder Funktion, bei der man eine normale Ableitung macht auch machen kann. Kann mir vielleicht jemand ein beispiel geben?
Das wäre suuper lieb, und sehr wichtig!

04.03.2007, 16:15

pseudo-nym

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zu a) Als erstes würde ich $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in die Funktion einsetzen, um den dazugehörigen y-Wert zu ermitteln.

Eine Tangente hat die Form $\begin{eqnarray*} y=mx+b \end{eqnarray*}$
Um $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ zu bestimmen leitest du die Funktion ab und setzt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein. Dann kannst du b bestimmen.

04.03.2007, 16:21

Deneydria

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also dann..
f(x)=x³-1/2 x² ; x0= -1

f´(-1)= -1³-1/2 *(-1)²
?????

Und das ist dann die steigung?
oder ist das jetzt vollkommen falsch?

04.03.2007, 16:26

pseudo-nym

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Das ist auf jeden Fall vollkommen wirr.

Benutz für Formeln bitte den Formeleditor

Das ist nicht die Steigung, sondern y-Wert der zu $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , also ist der Ableitungsstrich da unangebracht.

Da ist allerdings noch ein Fehler drin.

$\begin{eqnarray*} y_0=(-1)^3-\frac{1}{2}(-1)^2=-1-\frac{1}{2}=-1,5 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du die Funktion ableiten.

04.03.2007, 16:28

Deneydria

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oder muss ich das dann so machen...

f´(x)= 3*(-1)² - 1/2 * 2*(-1)

und was da rauskommt ist dann die steigung?
Ich hab echt kein Plan

04.03.2007, 16:31

pseudo-nym

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Ja da würde dann die Steigung rauskommen.

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04.03.2007, 16:31

Deneydria

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da kommt -1,5 raus...
wie soll ich denn davon eine Ableitung machen?

04.03.2007, 16:33

Deneydria

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achso, also ist die 2. rechnung die ich gepostet habe richtig?!
und dann einfach
$\begin{eqnarray*} y=m*x+b \end{eqnarray*}$
da einsetzten. Und welchen punkt benutze ich für x und y?

04.03.2007, 16:36

pseudo-nym

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Du musst $\begin{eqnarray*} x_0=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0=-1,5 \end{eqnarray*}$ benutzen.

04.03.2007, 16:41

Deneydria

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achsooo...
okay es hat geklickt...
und die Normale ist einfach die orthogonale oder? Meinte auf jedenfall diejenige, die mir das zu erklären versucht hat...

04.03.2007, 16:44

pseudo-nym

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Das ist das gleiche Spiel nur das die Steigung der Normale $\begin{eqnarray*} m_n=-\frac{1}{m_t} \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} m_t \end{eqnarray*}$ die Steigung der Tangente ist.

04.03.2007, 16:47

Deneydria

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ja cool.. also die orthogonale... hehe dankeeeschön du hast mir echt geholefn!!!
Und das mit den Differenzenquotienten?
vesrehst du das?

04.03.2007, 16:53

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Deneydria
vesrehst du das?

Ja

Big Laugh

Allgemein ist das eben der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x-f(x)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$ .

Was weißt du denn schon über das Thema/verstehst du nicht?

04.03.2007, 16:56

Deneydria

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eeehm... ich kann die ganz normale Ableitung..^^ also nciht sehr viel.
ich weiß nur, dass ich x-a einsetzen muss.. ich glaube für $\begin{eqnarray*} x0 \end{eqnarray*}$
Meine Lehrerin meinte, dass manche auch statt diesem x-a ein h einsetzen oder sowas. Aber wir das so machen müssen.
Und, um auf deine Frage zu antworten, eigentlich garnichts!

04.03.2007, 17:02

pseudo-nym

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Schau dir das mal an: http://www-math.uni-paderborn.de/user/orlob/30Differenzenquotient.pdf

04.03.2007, 17:04

Deneydria

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das geht bei mir nicht ;__;

04.03.2007, 17:07

pseudo-nym

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http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Df

04.03.2007, 17:11

Deneydria

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ah ja.. da war ich auch schon drauf... aber kannst du dir erklären, wo dieses x-a herkommt?
ich weiß nur, das unter dem Bruchstrich dieses x-a stehen muss... und oben muss es auch eingesetzt werden, ich kann mir aber nicht erklären wo...

04.03.2007, 17:15

Deneydria

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also cih denke, dass ich a statt x0 einsetzten muss, weil meine lehrerin es einfacher findet oder so...
dann muss ich das auch oben machen...
aber, wenn ich oben dieses $\begin{eqnarray*} f(x0) \end{eqnarray*}$ stehen habe, und da dann a einsetzte...
$\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$
was ist denn dann $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ ?
Und nach was muss ich die Gleichung auflösen?
Was ist, wenn ich $\begin{eqnarray*} x0 \end{eqnarray*}$ nicht gegeben habe?

Tut mir leid, dass ich so aufm Schlauch stehe...

04.03.2007, 17:17

Deneydria

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und die rechnungen, die mir meine mitschülerin gezeigt hat, die waren total lang.. ich kann mir nicht vorstellen, das die rechnung dann so lang is.
Sie hat mir auch gesagt, dass ich dann nebenrechnungen machen muss.. polynomdivisionen und so.. muss ich das mit iwas gleichsetzten oder so, oder ist das wirklich die ganze rechnung?

04.03.2007, 17:27

pseudo-nym

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Das was du als $\begin{eqnarray*} x-a \end{eqnarray*}$ kennst ist bei mir $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ . Wenn du eine Gerade durch zwei Punkte einer Funktion legst, kannst du die Steigung der Sekante mit

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

berechnen wobei $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ der x-Abstand der beiden Punkte auf der Funktion darstellt (vgl. Wikipediabild).

Wenn du den oberen Punkt immer näher an den unteren heranrücken lässt wird $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ unendlich klein und du erhälst die Steigung der Tangente im unteren Punkt, also die erste Ableitung dort.

$\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

04.03.2007, 17:31

Deneydria

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mmh.. okay..
also, wenn ich jetzt diese Gleichung habe

$\begin{eqnarray*} f(x)=x³- 1/2*x² \end{eqnarray*}$
ohne x0 gegeben zu haben.
wie muss ich das dann in diese Formel einsetzen, wenn sie jetzt mit x-a ist?
Und muss ich dann nach x auflösen oder wie?

04.03.2007, 17:33

pseudo-nym

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Ich kann mir ehrlich gesagt unter diesem $\begin{eqnarray*} x-a \end{eqnarray*}$ nichts vorstellen. Poste doch mal die allgemeine Form des Diffquotienten wie du sie kennst.

04.03.2007, 17:41

Deneydria

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also, ich war nicht da, als wir das gemacht haben. Ich war im Krankenhaus, wegen einer Lungeentzündung.
Und leider will sich keiner meiner Mitschüler mit mir hinsetzten und es mir erklären, weil sie mich für dumm halten, weil ich von der Realschule komme.
Da ich die einzige in diesem Mathe LK bin, die von der Realschule kommt, ist da keiner, der es mir erklären will.
die einzige, die es gemacht hat, hat es nur ganz kurz gemacht und nur weil meine Lehrerin sie darum gebeten hat.
Sie hat mich nichts davon abschreiben lassen und auch nicht kopieren.
Das ist deshalb leicht schwer.
Meine Lehrerin sagt es ist meine Pflicht e smir selbst zu erarbeiten.

also ich weiß, dass wir diese Formel benutzen.

$\begin{eqnarray*} f(x)-f(x0)/x-x0 \end{eqnarray*}$

und ich ahbe egsagt bekommen, dass unten nicht
$\begin{eqnarray*} x-x0 \end{eqnarray*}$
stehen soll, sondern
$\begin{eqnarray*} x-a \end{eqnarray*}$
was natürlich heißt, dass ich das $\begin{eqnarray*} xo \end{eqnarray*}$ auch oben ändern muss.
Deshalb hätte cih gedacht, das die Formel so ist:
$\begin{eqnarray*} f(x)-f(a)/x-x0 \end{eqnarray*}$
was aba irgendwie totaler Müll ist, und deshalb weiß ich nciht weiter.

04.03.2007, 18:00

pseudo-nym

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Warum soll das Müll sein? Deine Schlussfolgerung stimmt schon.

Jetzt kannst du ja mal versuchen z.B. $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ in den Diffquotienten einzusetzen

04.03.2007, 18:02

Deneydria

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ouh oki...
aba genau da hänge ich dann auch..^^
ich weiß nicht genau wie ich das einsetzen muss...
und ich weiß auch nicht, was ich machen soll, wenn ich x und a nicht gegeben habe...

04.03.2007, 18:21

pseudo-nym

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Naja für $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ würde das so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2-a^2}{x-a} \end{eqnarray*}$

04.03.2007, 18:24

Deneydria

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ouh oki.. dann ist das ja garnicht soo schwer... oder?
Und dann muss ich dach x auflösen? oder wie?
oder nach a?

04.03.2007, 18:51

pseudo-nym

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Nein, du musst x gegen a streben lassen. Also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{x^2-a^2}{x-a} \end{eqnarray*}$

Tipp: erweitere mit $\begin{eqnarray*} x+a \end{eqnarray*}$

04.03.2007, 19:23

Deneydria

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ah okay... gut ich denke ich habs soweit verstanden... Dankeschön!!!!

04.03.2007, 20:13

Deneydria

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nur noch eins^^ was heißt x gegen a streben lassen?
was muss man da machen?
ich weiß ich bin ein noope in diesem thema

04.03.2007, 20:18

pseudo-nym

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Weißt du was ein Grenzwert ist?

04.03.2007, 20:20

Deneydria

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müsste ich eiegtlich wissen.. oder?

Also ich würde sagen, der Punkt, der am nähesten an einem anderen dran ist, aber nicht null is.. oder so...

*oh man cih blamier mich hia voll*

04.03.2007, 20:47

pseudo-nym

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Keiner blamiert sich hier, nur wenn ich dir das erkläre musst du den Grenzwet kennen.

Schau mal da http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Funktion%29

04.03.2007, 20:54

Deneydria

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okay. ich glaub das habe ich so weit verstanden...

PS.: darf ich dich bei msn adden? also nich wegen Mathe oder so...

04.03.2007, 21:12

pseudo-nym

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Kannste machen, um den Grenzwert zu berechnen wie gesagt mit $\begin{eqnarray*} x+a \end{eqnarray*}$ .

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