Fourierentwicklung-allgemeine Form

13.12.2014, 16:04	btsky	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourierentwicklung-allgemeine Form Hallo liebe matheboardler, Ich hatte gerade vor eine Aufgabe zur Fourierentwicklung zu machen. Bevor ich irgendetwas anderes sage, hier erst einmal die Aufgabe: Betrachten Sie die Funktion $\begin{eqnarray} f : [-1,1], f(x) = \|x\| \end{eqnarray}$ . (a) Bestimmen Sie für die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit dem angegebenen Definitionsbereich die allgemeine Form der Fourierreihe. Wie würde sich die Form der Fourierreihe ändern, wenn man $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ausserhalb des Definitionsbereiches periodisch fortsetzte? Warum? (b) Bestimmen Sie den passenden Vorfaktor des Fourierintegrals zur Bestimmung der Fourierkoeffizienten $\begin{eqnarray} f_k \end{eqnarray}$ und berechnen Sie diese. Ich bin mir noch sehr unsicher, was hier von mir verlangt wird. Soll ich hier auf die Form $\begin{eqnarray} F(x)= \frac{a_0}{2} +\sum\limits_{k=1}^\infty [a_k \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x)+b_k \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x)] \end{eqnarray}$ kommen, ohne sie benutzen zu dürfen, oder soll ich einfach nur a0 ak und bk ausrechnen? Hat jemand von euch da einen Plan? lg btsky
14.12.2014, 11:25	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierentwicklung-allgemeine Form Hallo, da f eine bestimmte Symmetrie hat, kannst du über deine Fourierkoeffizienten schon einiges aussagen, viele sind nämlich einfach gleich Null. Wie kriegst du dann die verbleibenden Koeffizienten? Abakus
14.12.2014, 22:13	btsky	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierentwicklung-allgemeine Form Hallo Abakus, also ich habe die Koeffizienten so ausgerechnet: $\begin{eqnarray} a_0=\int_{-1}^0 -x dx + \int_{0}^1 x dx \\<br /> a_k= 2\cdot \int_{-1}^0 -x \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot k \cdot x) dx + 2\cdot \int_{0}^1 x \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot k \cdot x) dx \\ <br /> b_k= 2\cdot \int_{-1}^0 -x \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot k \cdot x) dx + 2\cdot \int_{0}^1 x \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot k \cdot x) dx \\ \end{eqnarray}$ Da komme ich dann auf das Ergebnis: $\begin{eqnarray} a_0=1<br /> a_k=0<br /> b_k=0<br /> \end{eqnarray}$ Aber das würde doch heißen, dass meine Fourierriehe: $\begin{eqnarray} F(x)= \frac{a_0}{2} +\sum\limits_{k=1}^\infty [a_k \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x)+b_k \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot k \cdot f_0 \cdot x)] \end{eqnarray}$ Einfach nur $\begin{eqnarray} F(x)= \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ist und das kann ja nicht sein. Abgesehen davon, dass ich mich vielleicht verrechnet habe... Aber außerdem ist ja nicht wirklich danach gefragt, oder? Ich verstehe halt nicht ganz, was ich für die Aufgabe machen soll.
15.12.2014, 11:49	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierentwicklung-allgemeine Form Ich dachte erstmal an einige prinzipielle Überlegungen, bevor das Rechnen anfängt. Deine Funktion f ist gerade, bzw. der Graph ist symmetrisch zur y-Achse. Was heißt das für die Fourierkoeffizienten, kann da überhaupt ein sinus-Bestandteil in der Fourierreihe drin sein dann? Diese Überlegung führt auf $\begin{eqnarray} b_k = 0 \end{eqnarray}$ erstmal. Damit ist eine "Hälfte" der Aufgabe ja schon gelöst. Dein f ist über $\begin{eqnarray} [-1, 1] \end{eqnarray}$ definiert, die normalen Formeln für die Fourierkoeffizienten setzen jedoch ein Intervall $\begin{eqnarray} [-\pi, \pi] \end{eqnarray}$ voraus. Demnach musst Du die Formel erstmal anpassen, und hinschreiben wie Du die $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ berechnen möchtest. Das ist der nächste Teil der Aufgabe, und gehört auch noch zum konzeptionellen Teil. (Deine verwendete Formel ist noch nicht korrekt.) Wenn Du die richtige Formel hast, kannst Du die Koeffizienten ausrechnen dann. Abakus

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