Spiegelung am Einheitskreis bei Komplexen Zahlen bestimmen

13.12.2014, 18:13

Mathemachtspaß

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Spiegelung am Einheitskreis bei Komplexen Zahlen bestimmen

Meine Frage:
Halli Hallo,
ich möchte gerne wissen, wie ich bei dieser Kreisgleichung die resultierende Gleichung Ks in der Form von K bilde. Die Gleichung Ks ist die Spiegelung des Einheitskreises und soll in der selben Form angegeben werden.

K: zz*-(3-i)z*-(3+i) z - 6 = 0

Die Spiegelung wird mit w= 1/z* beschrieben.
z* wird auch als z-strich geschrieben

Meine Ideen:
Mein Vorschlag ist,
1)erst einmal w auf z* aufzulösen und dann einsetzen
2)eine Kreisgleichung für m= 3-i und r=4 bestimmen--> da habe ich (z(3i)) ^2=4
3)z/z* berechnen--> da hab ich (3-i) / (3+i) (3-i) = 0,3 - 0,1i

Bin ich auf einem richtigen Weg oder habe ich einen totalen Denkfehler?

Liebe Grüße
Karo

14.12.2014, 00:17

Hausmann

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RE: Spiegelung am Einheitskreis bei Komplexen Zahlen bestimmen
Aus eigenem Interesse hoffe ich, daß sich jemand des Themas annimmt. Bei mir scheitert es leider schon am Begreifen der Frage selber, was gegeben und gesucht ist zum Beispiel.
verwirrt

verwirrt

14.12.2014, 14:24

Mathemachtspaß

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RE: Spiegelung am Einheitskreis bei Komplexen Zahlen bestimmen
Die gegebene Kreisgleichung ist ja: K: zz* - (3-i )z* - (3+i)z -6 = 0 z*= komplex konjugiert

zuerst sollte ich den Radius und den Mittelpunkt bestimmen, da habe ich r= 4 und m= 3-i raus.
dann

bei b) Durch w=1 /z* wird die Spiegelung am Einheitskreis beschrieben. Spiegeln Sie den Kreis K am Einheitskreis und geben Sie die resultierende Gleichung Ks in der selben Form wie K an.

und dann soll ich davon den Radius und den Mittelpunkt bestimmen.

LG
Karo

14.12.2014, 17:05

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RE: Spiegelung am Einheitskreis bei Komplexen Zahlen bestimmen
z*=1/w einsetzen ist gut. Mehr brauchst du nicht, die entstehende Gleichung lässt sich direkt in die gewünschte Form bringen.

14.12.2014, 17:18

Mathemachtspaß

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setze ich dann einfach für z*= 1/ (3-i) ein?

Ich habe da -------> Ks: zz*- (0,3+01 i) z -(0,30-0,1 i) z -15,9 = 0 heraus.

Kann das sein? ?

Lg

Karo

14.12.2014, 17:25

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Du hast nach dem Einsetzen von z*=1/w eine Gleichung in w und w*. Die bringst du auf die gewünschte Form. Da wird nichts weiter eingesetzt.

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14.12.2014, 17:49

Mathemachtspaß

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Dann hab ich jetzt den totalen Denkfehler unglücklich

unglücklich

Ich hab das so gemacht:

z^2-2(3-i)z-6 = 0
(a^2-2ab+b^2)-b^2 +c = 0
(a-b)^2-b^2 +c = 0
(z-(3-i))^2-10-6 = 0
( z-(3-i))^2-16= 0

1/(3-i)= 0,3-0,1i

(a-b)^2=4^2
a^2-2ab+b^2 = 16
z^2 - 2z (0,3-0,1i)+0,1-16= 0

zz/*-(0,3+0,1i)z-(0,3-0,1i)z*-15,9= 0

14.12.2014, 18:00

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Woher kommt deine erste Gleichung? Und was passiert dann damit? Quadratische Ergänzung? Die ist dann aber falsch durchgeführt.

14.12.2014, 18:10

Mathemachtspaß

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Sollte eigentlich eine quadratische Ergänzung sein!!
Ich dachte, dass ich die Gleichung für Ks brauche.

Also falsch unglücklich

unglücklich

unglücklich

unglücklich

14.12.2014, 18:24

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Deine erste Gleichung hat auch nicht viel mit der ausgangsgleichung zu tun. Vielleicht möchtest du jetzt meinen Vorschlag probieren?

14.12.2014, 18:43

Mathemachtspaß

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Ersetze ich dann einfach und z* mit 1/w?
Was ist denn eigentlich w?

ich steh total auf m Schlauch

14.12.2014, 18:49

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was hast du denn mit

Zitat:

1)erst einmal w auf z* aufzulösen und dann einsetzen

gemeint?

14.12.2014, 19:02

Mathemachtspaß

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ich hab gedacht, das z* = 1/(3+i) ist

14.12.2014, 19:28

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Ok, dann mal in aller Ausführlichkeit:
Ich bleibe bei deiner Notation, also $\begin{eqnarray*} z^*=\bar z \end{eqnarray*}$ für die komplexe Konjugation.
Setze $\begin{eqnarray*} G(z)=zz^*-(3-i)z^*-(3+i) z - 6 \end{eqnarray*}$ .
Die beschreibende Gleichung der Menge $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist dann einfach $\begin{eqnarray*} G(z)=0 \end{eqnarray*}$ .
Setze weiter $\begin{eqnarray*} \varphi(z)=\frac{1}{z^*}, z\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Diese Abbildung ist die Spiegelung am Einheitskreis.
Dann suchst du eine beschreibende Gleichung für die Menge $\begin{eqnarray*} K_s=\{w\in\mathbb{C}:w=\varphi(z)\;\mbox{für ein}\; z\in K\} \end{eqnarray*}$ , dem Bild des Kreises K unter dieser Spiegelung.

Es gilt $\begin{eqnarray*} \varphi(\varphi(z))=z \end{eqnarray*}$ (nachrechnen!)
und folglich $\begin{eqnarray*} 0=G(z)=G(\varphi(\varphi(z)))=G(\varphi(w))=G(\frac{1}{w^*}) \end{eqnarray*}$
Das ist jetzt aber eine Gleichung, die die Elemente von $\begin{eqnarray*} K_s \end{eqnarray*}$ erfüllen müssen.

Das ist auch die Gleichung, die Du bekommst, wenn du direkt $\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{w^*} \end{eqnarray*}$ , oder gleichwertig $\begin{eqnarray*} w=\frac{1}{z^*} \end{eqnarray*}$ , in $\begin{eqnarray*} G(z)=0 \end{eqnarray*}$ einsetzt, so wie ich vorgeschlagen habe.
Diese Gleichung musst du jetzt nur noch in die gewünschte Form bringen.

14.12.2014, 19:29

Leopold

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Wenn du die Gleichung $\begin{align*} w = \frac{1}{\overline{z}} \end{align*}$ nach $\begin{align*} \overline{z} \end{align*}$ auflöst, erhältst du $\begin{align*} \overline{z} = \frac{1}{w} \end{align*}$ , und nach Übergang zum konjugiert Komplexen: $\begin{align*} z = \frac{1}{\overline{w}} \end{align*}$

Und jetzt kannst du das in die Kreisgleichung einsetzen:

$\begin{align*} \frac{1}{\overline{w}} \frac{1}{w} - \left( 3 - \operatorname{i} \right) \frac{1}{w} - \left( 3 + \operatorname{i} \right) \frac{1}{\overline{w}} - 6 = 0 \end{align*}$

Diese Gleichung jetzt mit $\begin{align*} w \cdot \overline{w} \end{align*}$ durchmultiplizieren und auf die Form einer Kreisgleichung bringen.

So hat es URL gemeint:

Zitat:

Original von URL
Du hast nach dem Einsetzen von z*=1/w eine Gleichung in w und w*. Die bringst du auf die gewünschte Form. Da wird nichts weiter eingesetzt.

14.12.2014, 19:34

URL

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Wobei ich die Gleichung noch ein wenig vereinfachen würde zu
$\begin{eqnarray*} 0=G(z)=zz^*-2Re((3+i)z)-6 \end{eqnarray*}$

17.12.2014, 01:04

Hausmann

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Darf ich an den Dank für die Behandlung dieses interessanten Problems noch eine kleine Frage anheften (die vermutlich implizit längst geklärt ist): Ist das Bild des Kreismittelpunktes der Mittelpunkt des Bild-Kreises? mfG

17.12.2014, 10:06

URL

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Die Gleichung $\begin{eqnarray*} zz^*-2Re(uz)-k=0 \end{eqnarray*}$
beschreibt einen
Kreis mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M=\bar{u} \end{eqnarray*}$ und Radius R mit $\begin{eqnarray*} R^2=|u|^2+k \end{eqnarray*}$ (natürlich nur für $\begin{eqnarray*} |u|^2+k \geq 0 \end{eqnarray*}$ )
Enthält dieser Kreis nicht den Nullpunkt, kann man ihn am Einheitskreis spiegeln und bekommt einen Kreis mit
Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{k}\bar{u} \end{eqnarray*}$ und Radius R mit $\begin{eqnarray*} R^2=\frac{1}{k^2}(|u|^2+k) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt kannst du mal selbst überlegen, wann denn das Bild des Kreismittelpunktes der Mittelpunkt des Bild-Kreises ist smile

smile

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