Aussage über Abbildung f von metrischen Räumen

13.12.2014, 23:44

Widderchen

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Aussage über Abbildung f von metrischen Räumen

Meine Frage:
Hallo,

seien X und Y metrische Räume und f: X => Y eine Abbildung. Aus der Vorlesung ist bereits bekannt, dass für a aus X und b aus Y gilt:

lim f(x) = b (für x => a) genau dann wenn
lim f(xn) = b (n => unendl.) für jede Folge {xn} aus X \{a} mit xn => a

Nun soll ich folgende Aussage beweisen:

lim f(x) (für x => a) existiert genau dann wenn
lim f(xn) (n => unendl.) existiert für jede Folge {xn} aus X \{a} mit xn => a .

Meine Ideen:
Im Grunde muss ich hier doch die Eindeutigkeit der Grenzwerte lim f(x) und lim f(xn) zeigen. Da es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, zeige ich zunächst die Hin-Richtung: "=>"

Sei lim f(x) für x gegen a existent, also lim f(x) = c (x => a). dann folgt daraus über die gegebene Äquivalenzrelation, dass auch lim f(xn) existieren muss mit lim f(xn) = c für n gegen unendl. , oder sollte der Beweis dieser Aussage doch nicht so einfach sein?
Ich weiß nicht, wie ich den Beweis formulieren soll.

Grüße
Widderchen

14.12.2014, 13:36

RavenOnJ

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RE: Aussage über Abbildung f von metrischen Räumen
Mach ich das mal in Latex:
1. Aussage: $\begin{align*} \lim_{x\to a}f(x)=b\Leftrightarrow \forall (x_n)\text{ mit }\lim_{n\to\infty}x_n=a:\lim_{n\to\infty}f(x_n)=b \end{align*}$

Nun willst du beweisen:
$\begin{align*} \lim_{x\to a}f(x)\text{ existiert }\Leftrightarrow \forall (x_n)\text{ mit }\lim_{n\to\infty}x_n=a:\lim_{n\to\infty}f(x_n)\text{ existiert } \end{align*}$

Zur Rückrichtung: Wenn alle Folgen $\begin{align*} (x_n)\to a \end{align*}$ denselben Grenzwert $\begin{align*} \lim_{n\to\infty}f(x_n)=b \end{align*}$ haben, dann wäre das der Fall von Aussage 1), damit unproblematisch. Es gebe also stattdessen zwei Folgen $\begin{align*} (x_n),(y_n)\to a \end{align*}$ mit unterschiedlichen Grenzwerten $\begin{align*} \lim_{n\to\infty}f(x_n)\not= \lim_{n\to\infty}f(y_n) \end{align*}$ . Nun wäre zu zeigen, dass die Aussage $\begin{align*} \forall (x_n)\text{ mit }\lim_{n\to\infty}x_n=a:\lim_{n\to\infty}f(x_n)\text{ existiert } \end{align*}$ dann falsch ist, dass es also eine Folge gibt, die keinen Grenzwert hat.

14.12.2014, 15:32

Widderchen

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Vielen Dank für die Antwort, RavenOnJ,

du hast ja jetzt die Rückrichtung der Aussage bewiesen, bedeutet das also, dass mein Ansatz zur Hin-Richtung korrekt ist? Oder zeigst du zunächst einfach nur die Rückrichtung?

Die von dir geschilderte Rückrichtung verstehe ich: Einmal die Falklunterscheidung mit denselbem Grenzwert und dann mit verschiedenen Grenzwerten zweier Funbktionenfolgen f(xn) und f(yn), wobei yn , xn => a für n gegen unendl.

Aber wie folgere ich nun daraus, dass es eine Folge gibt, die keinen Grenzwert hat??? Muss ich dazu Abstände im metrischen Raum betrachten???

Ich habe gegeben, dass der Limes der Abstände der Funktionen f(xn) - f(yn) ungleich Null ist. Wie folgere ich nun daraus, dass eine Folge xn existiert mit xn => a , sodass der Limes f(xn) nicht existiert??? Ich weiß nicht so recht, wie ich das zeigen soll.

14.12.2014, 15:35

RavenOnJ

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Du sollst zeigen, dass es eine Folge gibt, die keinen Grenzwert hat. Wann ist das der Fall? Geh mal mit dem Cauchy-Kriterium ran.

14.12.2014, 16:50

Widderchen

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Das Cauchy-Kriterium besagt, dass für alle epsilon > 0 exist. ein N in IN, sodass für alle n , m größer gleich diesem N : / f(xn) - f(xm) / < epsilon

Wenn es allerdings zwei Folgenglieder gibt, sodass / f(xn) - f(xm) / > (oder gleich) epsilon , dann konvergiert diese Funktionenfolge nicht gegen diesen Grenzwert????? Ist die Formulierung so richtig?? Aber das bedeutet dann immer noch nicht, dass sie gar keinen Grenzwert besitzt, oder??

Wie soll diese Folge ohne Grenzwert konkret aussehen??

Grüße
Widderchen

14.12.2014, 16:56

RavenOnJ

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Mit dem Tipp, den ich dir nun gebe, ist das Ding eigentlich gelöst. Du müsstest nur noch zeigen, dass die Folge nicht dem Cauchy-Kriterium genügt. Bilde die Folge, indem du abwechselnd Glieder aus $\begin{align*} (x_n) \end{align*}$ und $\begin{align*} (y_n) \end{align*}$ wählst, in der selben Reihenfolge. Also $\begin{align*} (z_n) :=(x_1,y_1,x_2,y_2,\cdots) \end{align*}$ . Kann die Folge $\begin{align*} (f(x_1),f(y_1),f(x_2),f(y_2),\cdots) \end{align*}$ einen Grenzwert haben? Wenn nein, warum nicht?

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14.12.2014, 19:22

Widderchen

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Also,damit ich das riichtig verstehe: die Folge (x1, y1, x2, y2, ...) besitzt doch nach Voraussetzung den Grenzwert a, oder irre ich mich total??? verwirrt

verwirrt

Wie darf ich nun das Epsilon wählen sodass / f(xm) - f(xn) / > epsilon ???

Offenbar kann die von dir konstruierte Funktionenfolge keinen Grenzwert haben. Allerdings kann ich dir nicht sagen, warum dem so ist.

Grüße
Widderchen

14.12.2014, 19:30

RavenOnJ

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Natürlich hat $\begin{align*} (z_n) :=(x_1,y_1,x_2,y_2,\cdots) \end{align*}$ als Grenzwert den Wert a, da beide Folgen $\begin{align*} (x_n),(y_n) \end{align*}$ diesen Grenzwert haben.

Wähle $\begin{align*} \epsilon < \left|\lim_{n\to\infty}f(x_n)- \lim_{n\to\infty}f(y_n)\right| \end{align*}$ .

Edit: Fehler korrigiert

14.12.2014, 20:45

Widderchen

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Aber das bedeutet doch : epsilon < 0 ????

Ich muss doch dann den Abstand zweier Folgeglieder f(xm) und f(xn) durch dieses epsilon abschätzen!

Tut mir Leid, ich verstehe das irgendwie noch nicht. verwirrt

verwirrt

15.12.2014, 01:44

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Widderchen
Aber das bedeutet doch : epsilon < 0 ????

Wie kommst du darauf? Aus dem, was ich geschrieben hatte, konnte man das zumindest nicht schließen. Trotzdem war ein Fehler drin: Ich meinte $\begin{align*} 0<\epsilon < \left|\lim_{n\to\infty}f(x_n)- \lim_{n\to\infty}f(y_n)\right| \end{align*}$ . Sorry, hab das oben nachträglich korrigiert.

Ich schreibe das mal auf, hoffentlich verständlich:
Sei $\begin{align*} d := \left|\lim_{n\to\infty}f(x_n)- \lim_{n\to\infty}f(y_n)\right| \end{align*}$ . Wähle dann beispielsweise $\begin{align*} \epsilon =\frac d 2 \end{align*}$ . Wenn $\begin{align*} (f(z_n)) \end{align*}$ konvergiert, dann muss es einen Index $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ geben mit $\begin{align*} \forall n,m>n_0:\left|f(x_m)- f(y_n)\right| <\epsilon =\frac d 2 \end{align*}$ . Andererseits ist $\begin{align*} d := \left|\lim_{n\to\infty}f(x_n)- \lim_{n\to\infty}f(y_n)\right| =\lim_{n\to\infty} \left|f(x_n)- f(y_n)\right| \end{align*}$ , was ein Widerspruch zum vorhergehenden ist. Die Folge $\begin{align*} (f(z_n)) \end{align*}$ kann also nicht konvergieren.

15.12.2014, 11:20

Widderchen

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Hallo RavenOnJ,

Ich kam auf epsilon < 0, weil da zunächst irgendwie epsilon < lim(xn) - lim(yn) ohne die f stand und da a der Grenzwert dieser Folgen ist, käme da "0" heraus. Das hattest du dann aber korrigiert.

Aus der Definition deines d kann man den Limes aus den Betragsstrichen herausziehen, gut, ich verstehe diesen Widerspruchsbeweis, danke.

Muss ich noch etwas für die "=>"-Richtung des Beweises berücksichtigen oder genügt das, was ich in dem vorigen Post geschrieben hatte?

Grüße
Widderchen

15.12.2014, 16:08

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Widderchen

Ich kam auf epsilon < 0, weil da zunächst irgendwie epsilon < lim(xn) - lim(yn) ohne die f stand und da a der Grenzwert dieser Folgen ist, käme da "0" heraus. Das hattest du dann aber korrigiert.

Die Betragsstriche hatte ich nicht dazu gemacht, die standen schon da. Deswegen wunderte mich dein Einwand.

Eigentlich müsste dort natürlich was anderes stehen, da es sich um einen allgemeinen metrischen Raum handelt, also sowas wie $\begin{align*} d_Y\left(\lim_{n\to\infty}f(x_n),\lim_{n\to\infty}f(y_n)\right) \end{align*}$ . Man kann das aber ganz analog handhaben.

PS: Schreib das grad auf dem iPhone, ist mir zu anstrengend Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Auf den Rest werde ich erst später eingehen.

15.12.2014, 21:12

RavenOnJ

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RE: Aussage über Abbildung f von metrischen Räumen
Zur $\begin{align*} \Rightarrow \end{align*}$ -Richtung:

Zitat:

Original von Widderchen

Sei lim f(x) für x gegen a existent, also lim f(x) = c (x => a). dann folgt daraus über die gegebene Äquivalenzrelation, dass auch lim f(xn) existieren muss mit lim f(xn) = c für n gegen unendl. ,...

Ich weiß jetzt nicht, auf welche "gegebene Äquivalenzrelation" du dich beziehst. Das müsstest du erst mal aufklären.

15.12.2014, 21:21

Widderchen

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Hallo RavenOnJ,

mit der gegebenen Äquivalenzrelation meine ich die in der Aufgabenstellung als bekannt vorausgesetzte Äquivalenzrelation:

lim f(x) = b (für x => a) genau dann wenn
lim f(xn) = b (n => unendl.) für jede Folge {xn} aus X \{a} mit xn => a

Diese Äquivalenzrelation soll ich für den Beweis der zu zeigenden Äquivalenzrelation verwenden. Ich dachte, dass ich diese bei der Hin-Richtung nutzen könnte???

Grüße
Widderchen

15.12.2014, 21:35

RavenOnJ

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Ach so, alles klar. Ich schreib's nochmal sauber (Formeln ohne Latex nerven mich!):

$\begin{align*} \lim_{x\to a}f(x)=b\Leftrightarrow \forall (x_n)\text{ mit }\lim_{n\to\infty}x_n=a:\lim_{n\to\infty}f(x_n)=b \end{align*}$

Natürlich darfst du das benutzen. Die $\begin{align*} \Rightarrow \end{align*}$ -Richtung ist damit OK.

15.12.2014, 21:39

Widderchen

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Danke !!!

smile

Tut mir Leid, dass ich nicht in Latex geschrieben habe.

Widderchen

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