Monotonie einer Folge

14.12.2014, 02:32

akamanston

Monotonie einer Folge

hi
zu später stunde, eine kleine frage

ich soll zeigen dass die folge monoton wachsend ist.

$\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{1}{1} +\frac{1}{2} +...+\frac{1}{n} -ln(1+n) \end{eqnarray*}$
die aufgabe wurde im rahmen der integralrechnung gestellt. auf diesem wege hab ich keine ahnung wie das gehen soll

mein einziger anhaltspunkt ist folgende formel.
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq a_{n} \end{eqnarray*}$

help?

gute nacht=)

14.12.2014, 11:08

Abakus

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RE: monotonie einer folge
Hallo,

der erste Teil sieht ja aus wie eine Riemannsche Obersumme zu...., naja, das müsstest du rausfinden?

Abakus smile

14.12.2014, 21:37

akamanston

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RE: monotonie einer folge
hi

ok dann gehen wir das schritt für schritt an

der erste teil ist die harmonische reihe:

$\begin{eqnarray*} a_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-ln(1+n)=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n} -ln(1+n) \end{eqnarray*}$

stimmts?

15.12.2014, 10:55

Abakus

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RE: monotonie einer folge
Ja, der Teil nennt sich eine harmonische Summe. Das hilft uns aber noch nicht so viel weiter. Die Frage ist, was ist der Zusammenhang mit einem Integral, und dazu die Frage: wenn Du diese Summe als Riemann'sche Obersumme eines Integrals hast, nun, welche Integrationsfunktion hast Du dann mit welchen Integrationsgrenzen?

Abakus smile

15.12.2014, 21:03

akamanston

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RE: monotonie einer folge
hi, meinst du sowas in etwa^^

$\begin{eqnarray*} \int_1^n \! a(n) \, dn =\left[ln(n)-ln(1)\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_1^n \! \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \, dn= \sum_{k=1}^n ln(n) +c \end{eqnarray*}$

16.12.2014, 13:08

Abakus

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RE: monotonie einer folge

Zitat:

Original von akamanston
hi, meinst du sowas in etwa^^

$\begin{eqnarray*} \int_1^n \! a(n) \, dn =\left[ln(n)-ln(1)\right] \end{eqnarray*}$

So die Richtung. Hast Du schon mal ein bestimmtes Integral mit Riemann'schen Ober- und Untersummen berechnet? Betrachte z.B. mal:

$\begin{eqnarray*} \int_1^{n+1}~\frac 1 x ~ \dx \end{eqnarray*}$

Das könnten wir z.B. in n Teilintervalle zerlegen, etwa $\begin{eqnarray*} [1, 2], [2, 3], ..., [n, n+1] \end{eqnarray*}$ . Die Länge jedes Intervalls ist 1, und wegen der Monotonie von $\begin{eqnarray*} \frac 1 x \end{eqnarray*}$ lässt sich das Maximum in jedem der Teilintervalle auch schnell ausmachen. Kannst Du da nun sowas wie eine Abschätzung sehen?

Abakus smile

16.12.2014, 22:33

akamanston

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RE: monotonie einer folge
hi,

woher nimmst du denn die n+1 grenze von dem integral?

dein integral ist ja nicht gleichzusetzen mit der folge a_n.

18.12.2014, 00:21

Abakus

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RE: monotonie einer folge

Zitat:

Original von akamanston
woher nimmst du denn die n+1 grenze von dem integral?

Ist ja möglicherweise eine gute Idee, n+1 ins Spiel zu bringen, das ist ja das Argument von dem ln.

Zitat:

dein integral ist ja nicht gleichzusetzen mit der folge a_n.

Soll es ja auch nicht. Es geht um eine Abschätzung. Versuche doch mal so abzuschätzen, wie beschrieben. Das dient natürlich nur zum Auffinden der Idee zur Aufgabe erstmal.

Mal andersrum, du möchtest $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n = \frac 1 {n+1} - \ln{(n+2)} + \ln{(n+1)} \end{eqnarray*}$ betrachten (hätten wir vielleicht praktischer gleich hinschreiben sollen), und hättest gerne, dass das größer Null ist.

OK, nun ist aber:

$\begin{eqnarray*} \int_{n+1}^{n+2} ~ \frac 1 x ~ \dx = \ln{(n+2)} - \ln{(n+1)} \end{eqnarray*}$

Und das ist doch schon fast das, was Du betrachten möchtest. Du weißt - letztlich von der Monotonie des ln und einer speziellen Riemann'schen Ober-/Untersummen her - dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {n+2} \cdot 1 \le \ln{(n+2)} - \ln{(n+1)} \le \frac1 {n+1} \cdot 1 \end{eqnarray*}$

Abakus smile

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