Supremum komplexe Zahl

14.12.2014, 09:41

Theend9219

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Supremum komplexe Zahl

Guten Morgen,

Ich sitze an einer Aufgabe bei der ich das Surpemum einer komplexen Zahl bestimmen soll. Leider habe ich im Internet nichts brauchbares gefunden und hoffe nun hier das mir vielleicht geholfen werden kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es geht um folgendes:

$\begin{eqnarray*} sup |e^{z}| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z| \leq 1 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mir kann jemand einen Ansatz geben

Liebe Grüße

14.12.2014, 10:45

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RE: Supremum komplexe Zahl
Hast du es mal mit z=x+iy versucht?

14.12.2014, 22:38

Theend9219

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RE: Supremum komplexe Zahl
Hey vielen Dank für deine Antwort :

Also ich denke dann wäre $\begin{eqnarray*} sup |e^{z}| = sup |e^{x+iy}| = sup |e^{1}| = e <br /> \end{eqnarray*}$
Kann ich das so machen??

Liebe Grüße

14.12.2014, 22:54

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RE: Supremum komplexe Zahl
Das ist richtig

14.12.2014, 23:01

Theend9219

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RE: Supremum komplexe Zahl
geht es auch so?

$\begin{eqnarray*} |e^{x} cos(y) +ie^{x} sin(y) | \leq |e|^{x}|cos(y) | + |i||e|^{x} |sin(y)| \leq e^{x} cos(y) +e^(x) sin(y) \end{eqnarray*}$

? Liebe Grüße

14.12.2014, 23:27

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RE: Supremum komplexe Zahl
Bis jetzt hast du die Dreiecksungleichung angewandt und dann Beträge verschlampt.
Was soll ich dazu sagen?

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14.12.2014, 23:33

Theend9219

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RE: Supremum komplexe Zahl
Ich dachte ich kann die einfach dann weglassen tut mir leid ... Kann man das denn besser lösen?..

14.12.2014, 23:37

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RE: Supremum komplexe Zahl
Du bist schon bei einem Halbzeiler angekommen. Was wäre denn deiner Meinung nach besser geschockt

geschockt

14.12.2014, 23:40

Theend9219

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RE: Supremum komplexe Zahl
Okay danke dann ist das so kurz wie möglich..

Ich war nämlich verwirrt weil ich habe noch eine zweite Aufgabe jedoch

$\begin{eqnarray*} |e^{z^{2}}| \end{eqnarray*}$
dafür hätte ich dann das gleich vorgehen und würde auch auf e kommen..

Stimmt das?

Liebe Grüße

Und danke für deine Hilfe

14.12.2014, 23:58

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RE: Supremum komplexe Zahl
Das stimmt.

15.12.2014, 00:22

Theend9219

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RE: Supremum komplexe Zahl
Vielen dank eine frage noch .. wenn ich

$\begin{eqnarray*} sup |cos(z) | \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Re(z) \in [0,2*\pi], Im(z) \in [0,2*\pi] \end{eqnarray*}$ habe dann habe ich das aufgelöst in

$\begin{eqnarray*} |cos(z) | = |0.5 e^{iz}|+|0.5 e^{-iz}| \end{eqnarray*}$

aber wie setze ich nun Re(z) und Im(z) ein?

Wäre lieb wenn du mir noch einmal helfen könntest ..

15.12.2014, 00:35

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RE: Supremum komplexe Zahl
Ist nicht dein Ernst, oder?

Zitat:

Hast du es mal mit z=x+iy versucht?

Woher kommt das letzte Gleichheitszeichen?

15.12.2014, 00:39

Theend9219

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RE: Supremum komplexe Zahl
tut mir leid das müsste natürlich ein $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ sein

$\begin{eqnarray*} |cos(z)| = |cos(x+iy)| = 1 \end{eqnarray*}$

und ich würde halt sagen das wird 1 für Re = 2Pi und Im = 0

Liebe Grüße

15.12.2014, 00:44

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RE: Supremum komplexe Zahl
Also ist das gesuchte Supremum mindestens 1. Und nun?

16.12.2014, 01:49

RavenOnJ

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RE: Supremum komplexe Zahl
Nur mal eine Anmerkung zu deiner Ausdrucksweise:
1.) Du kannst nicht das Supremum einer Zahl suchen, höchstens einer Menge von Zahlen.
2.) Du kannst auch nicht das Supremum einer Menge komplexer Zahlen suchen, da es das nicht gibt. Es kann da höchstens um die Beträge der Zahlen gehen.

20.12.2014, 06:30

Theend9219

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RE: Supremum komplexe Zahl
Vielen lieben Dank!!

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