Anwendung des Zwischenwertsatzes

14.12.2014, 13:21

qwertz235

Anwendung des Zwischenwertsatzes

Hallo,
ich bin mit dieser Aufgabe gerade beschäftigt und finde leider keinen Ansatz:

Es sei $\begin{eqnarray*} f:\left[a,b\right]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig, $\begin{eqnarray*} f\left(a\right)\leq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\left(b\right)\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann besitzt die Menge $\begin{eqnarray*} N=\left\{ x\in [a,b]|f(x)=0\right\} \end{eqnarray*}$ ein Minimum.

Ich habe den Hinweis bekommen, die Aufgabe mithilfe von Folgenstetigkeit zu lösen, aber ich weiß nicht, wie ich da beginnen soll.

Viele Grüße
Alex

14.12.2014, 14:35

RavenOnJ

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RE: Anwendung des Zwischenwertsatzes
Es könnte nur dann kein Minimum geben, wenn es in dem Intervall eine unendliche Zahl von Nullstellen gibt. Du weißt wahrscheinlich, dass man Stetigkeit auch über Folgenstetigkeit definieren kann. Nimm nun an, dass die Menge N kein Minimum hat. Dann hat sie aber ein Infimum, da das Intervall $\begin{align*} [a,b] \end{align*}$ nach unten beschränkt ist. Die Folgenstetigkeit sagt nun aus, dass auch das Infimum einer fallenden Folge $\begin{align*} (x_n) \end{align*}$ einen Funktionswert hat, der gleich dem Grenzwert von $\begin{align*} f(x_n) \end{align*}$ ist. Betrachte nun eine fallende Folge aus N.

14.12.2014, 14:52

Guppi12

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Zitat:

Es könnte nur dann kein Minimum geben, wenn es in dem Intervall eine unendliche Zahl von Nullstellen gibt.

oder keine.

Bin wieder raus.

14.12.2014, 15:00

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Guppi12

Zitat:

Es könnte nur dann kein Minimum geben, wenn es in dem Intervall eine unendliche Zahl von Nullstellen gibt.

oder keine.

Aber der Zwischenwertsatz stellt sicher, dass es mindestens eine gibt, wegen der Vorbedingungen.

14.12.2014, 15:08

Guppi12

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Das macht das von mir zitierte trotzdem nicht richtig Augenzwinkern

Dass dieser Fall natürlich ebenso nicht eintreten kann ist klar, sonst würde die Aufgabe ja auch keinen Sinn machen.

14.12.2014, 15:19

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Guppi12
Das macht das von mir zitierte trotzdem nicht richtig Augenzwinkern

Inwiefern? f ist stetig und $\begin{align*} f(a)\le 0\land f(b)\ge 0 \end{align*}$ . Es gibt also mindestens eine Nullstelle wegen dem Zwischenwertsatz, d.h. $\begin{align*} |N|\ge 1 \end{align*}$ . Gäbe es nur endlich viele Nullstellen in $\begin{align*} [a,b] \end{align*}$ , dann gäbe es ein Minimum in N. Ich habe nicht behauptet, dass es in jedem Fall von unendlich vielen Nullstellen kein Minimum in N gibt, nur, falls es kein Minimum in N gibt, dann muss die Zahl der Nullstellen unendlich sein. Was ist daran auszusetzen?

14.12.2014, 16:22

Guppi12

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Ich wollte das eigentlich nicht so ausweiten, aber gut.

Ich würde deinem "Inwiefern" gerne zunächst mit einer Gegenfrage antworten:

Hättest du es unkommentiert gelassen, bzw. würdest du es für richtig halten, wenn ein anderer Ersthelfer folgendes geschrieben hätte:

"Es kann nur dann kein Minimum geben, wenn die Funktion garkeine Nullstelle hat."

Falls du dies mit nein beantwortest, so könnte ich ganz analog erwiedern:

Inwiefern? Schließlich kann ich beweisen (was ich hier nicht tun will, da das Aufgabe des Threaderstellers ist), dass es, falls es mindestens eine Nullstelle gibt auch ein Minimum der entsprechenden Menge existiert.

Nichts anderes hast du getan. Auf den Hinweis hin, dass deine Angabe unvollständig ist, antwortest du mit: Nein, schließlich kann ich zeigen, dass der andere Fall nicht eintritt. Genausogut könnte man die Aufgabe lösen, indem man den Satz hinschreibt:

"Die Menge kann in garkeinem Fall kein Minimum haben."

Auf Nachfrage sagt man: Ich kann ja beweisen, dass es in keinem Fall kein Minimum gibt.

14.12.2014, 16:41

RavenOnJ

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@Guppi
Keine Ahnung, was du damit jetzt beweisen willst. Ich stehe gerade echt auf dem Schlauch. verwirrt

Vielleicht schreibst du mir mal eine PN, das führt hier zu nix offenbar.

16.12.2014, 00:21

qwertz235

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Wie auch immer, danke für den Hinweis, der hat mir sehr geholfen.

Gruß Alex

16.12.2014, 00:23

RavenOnJ

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