Distribution - Monomorphismus

14.12.2014, 16:55

Escapado

Distribution - Monomorphismus

Hallo, ich habe folgende Augabe:
Sei
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^n\to R \end{eqnarray*}$ eine lokal integrierbare Funktion. Für $\begin{eqnarray*} \phi \in D(\mathbb{R}^n) \end{eqnarray*}$ sei:
$\begin{eqnarray*} T_f[\phi]:=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\phi(x) \text{d}^n x \end{eqnarray*}$

Zuerst sollte ich zeigen, dass das eine Distribuion ist und dann dass $\begin{eqnarray*} T:f\mapsto T_f \end{eqnarray*}$
eine lineare Abbildung vom Raum der lokal integrierbaren Funktionen in den Raum der Distributionen ist. Das habe ich gut hinbekommen.

Jetzt bleibt noch die Frage: Ist diese Abbildung injektiv, also ein Monomorphismus?

Wenn ich das richtig verstehe heiß das hier, dass man u.A. für zwei verschiedene $\begin{eqnarray*} \phi ,\varphi \in D(\mathbb{R}^n) \end{eqnarray*}$ für eine beliebige lokal integrierbare Funktion für das Integral nicht den gleichen Wert bekommen darf. Ich glaube aber, dass das schon passieren kann. Oder ist die Injektivität hier anders zu verstehen? (Leider hatten wir den Begriff Monomorphismus nicht).
Denn ich dachte ich könnte mir für f einfach mal die 1-Funktion nehmen und als $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zwei verschiedene Testfunktionen, die intergiert über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ den gleichen Wert annehmen. Soetwas sollte ich doch finden lassen oder?

Hat jemand einen Vorschlag oder mag mich aufklären ob ich einen Denkfehler habe?

14.12.2014, 18:02

IfindU

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RE: Distribution - Monomorphismus
Die Frage nach Injektivität ist die Frage ob $\begin{eqnarray*} f \neq g \end{eqnarray*}$ existieren mit $\begin{eqnarray*} T_f = T_g \end{eqnarray*}$ . Und 2 Distributionen sind gleich, wenn sie "punktweise" gleich sind, also
$\begin{eqnarray*} T_f( \varphi) = T_g( \varphi) \forall \varphi \in \mathcal D \end{eqnarray*}$ .

14.12.2014, 18:05

Che Netzer

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RE: Distribution - Monomorphismus

Zitat:

Original von Escapado
Wenn ich das richtig verstehe heiß das hier, dass man u.A. für zwei verschiedene $\begin{eqnarray*} \phi ,\varphi \in D(\mathbb{R}^n) \end{eqnarray*}$ für eine beliebige lokal integrierbare Funktion für das Integral nicht den gleichen Wert bekommen darf. Ich glaube aber, dass das schon passieren kann.

Tatsächlich. Eine lineare Abbildung von $\begin{eqnarray*} D(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (wie hier $\begin{eqnarray*} T_f \end{eqnarray*}$ ) ist (aus Dimensionsgründen) niemals injektiv.

Stattdessen ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} f\mapsto T_f \end{eqnarray*}$ gemeint: Zwei verschiedene lokal integrierbare Funktione liefern auch zwei verschiedene Distributionen.

Zitat:

Leider hatten wir den Begriff Monomorphismus nicht

Ein Monomorphismus ist in den meisten Fällen ein injektiver "Morphismus". Im Falle von Vektorräumen ist ein Monomorphismus jedenfalls eine injektive lineare Abbildung.

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