X und Y sind unabhängig mit PO

14.12.2014, 17:39

Malicious

X und Y sind unabhängig mit PO

Meine Frage:
N'Abend,

Die ZG X und Y seien unabhängig und PO-verteilt mit den Parametern $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ .

Berechnen Sie P(X=k|X+Y= n), n= 0,1,..., und 0 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ k $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ n

Meine Ideen:
So ich hab mal 2 Wege aufgeschrieben, vielleicht sind bei kacke aber vielleicht sind Sie auch gar nicht mal so schlecht :-)

1. Variante:

P(X=k|X+Y=n) = $\begin{eqnarray*} \frac{P(X=k \cap X+Y= n)}{P(X+Y= n)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{ P(X=k, Y= n-k)}{P(X+Y= n)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\lambda^k }{k!} * e^{-\lambda} * \frac{\mu^{n-k}}{(n-k)!} * e^{-\mu}}{\frac{(\mu + \lambda)^n}{n!} * e^{-{(\lambda +\mu)}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\lambda^k *\mu^{n-k}*(\lambda + \mu)^{-n} * n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \lambda^k \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \mu^{n-k}* \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} (\lambda + \mu)^{-n} \end{eqnarray*}$

dann ist die Idee, ich kann irgendwie sagen das ist die Bernouille-Formel für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = p und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ = 1-p

geht das? und was hab ich davon?

2. Variante:

P(X=k|X+Y=n)= $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \lambda^k \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \mu^{n-k}* \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} (\lambda + \mu)^{-n} \end{eqnarray*}$

wegen $\begin{eqnarray*} (\lambda + \mu)^{-n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{k=1}^n \binom{n}{k}*\lambda^{n-k}*\mu^k))^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

P(X=k|X+Y=n)= $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lambda^k \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \mu^{n-k}* \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{k=1}^n \binom{n}{k}*\lambda^{n-k}*\mu^k))^{-1} \end{eqnarray*}$

....

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}* \lambda^n * \mu^n *2^{-n} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}*(2*\lambda* \mu)^{-n} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so??

Also ich hoffe ihr könnt mein Erarbeitetes nachvollziehen und könnt mir ein Feedback geben ...

14.12.2014, 18:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malicious
$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \lambda^k \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \mu^{n-k}* \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} (\lambda + \mu)^{-n} \end{eqnarray*}$

Ist korrekt. Und nun einfach mal etwas anders schreiben:

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \cdot \lambda^k\cdot (\lambda + \mu)^{-k} \cdot \mu^{n-k} \cdot (\lambda + \mu)^{-(n-k)} = \binom{n}{k} \cdot \left( \frac{\lambda}{\lambda+\mu} \right)^k \cdot \left( \frac{\mu}{\lambda+\mu} \right)^{n-k} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

14.12.2014, 18:51

Malicious

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Hallo Hal :-)

ahhh sauber, sehr cool Big Laugh

... da bin ich nicht mehr drauf gekommen ...

Kannst du mir bitte noch sagen, was da jetzt genau bedeutet, also das Ergebnis?

14.12.2014, 19:08

HAL 9000

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Nun, das entspricht der Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} B\left(n, \frac{\lambda}{\lambda+\mu} \right) \end{eqnarray*}$ , genauer gesagt derem Wkt für Wert $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

14.12.2014, 19:12

Malicious

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super danke Hal Wink

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