Stetigkeit

14.12.2014, 18:03

Chris858

Stetigkeit

sei a<b und element von R

Zeigen Sie, dass keine stetige Abbildung mit $\begin{eqnarray*} f(\left [ a,b \right ])=\left ]a,b \right[ \end{eqnarray*}$

meine idee

sei f(x_n)=w_n da der def bereich kompakt es gibt es für xn eine teilfolge xnk die gegen ein x0 konvergiert
und sei f stetig
$\begin{eqnarray*} \lim_{k->\infty}f(x_{nk})=\lim_{k->\infty}w_{nk} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_0)=\lim_{k->\infty}w_{nk} \end{eqnarray*}$

d.h jede folge in w_n element vom wertebereich hat eine konvergierte teilfolge also muss der werteberecih kompakt sein
widerspruch zu \left ]a,b \right.

15.12.2014, 04:15

Chris858

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Da $\begin{eqnarray*} \left [ a,b \right ] \end{eqnarray*}$ kompakt ist es, existiert eine Teilfolge ank die gegen a konvergiert
sei stetig und es gilt:
$\begin{eqnarray*} f(\left [ a,b \right ])=\left ]a,b \right[ \end{eqnarray*}$
xn sei eine folge in def dann konvergiert xnk gegen ein x0
-> f(xn)=an
-> f(xnk)=ank
Annahme f ist stetig

$\begin{eqnarray*} \lim_{k->\infty}f(x_{nk})=\lim_{k->\infty}a_{nk} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_{0})=\lim_{k->\infty}a_{nk} \end{eqnarray*}$

d.h $\begin{eqnarray*} \lim_{k->\infty}a_{nk}=a \end{eqnarray*}$ liegt im Wertebereich Widerspruch

15.12.2014, 16:42

Guppi12

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Hallo,

deine erste Idee ging ja eigentlich schon in die richtige Richtung, es scheitert nur am Aufschrieb.

Ich nehme mal an, den Satz, dass Bilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen kompakt sind, hattet ihr noch nicht ?

Führen wir doch mal deine erste Idee richtig aus.

Zitat:

sei f(x_n)=w_n da der def bereich kompakt es gibt es für xn eine teilfolge xnk die gegen ein x0 konvergiert

.
Hier stellt sich die Frage, was $\begin{eqnarray*} w_n \end{eqnarray*}$ sein soll. Was du hier eigentlich sagen willst, ist doch:
Sei $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig und sei $\begin{eqnarray*} (w_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge in $\begin{eqnarray*} f([a,b]) \end{eqnarray*}$ . Wähle für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_n \in [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_n) = w_n \end{eqnarray*}$ .

Der Rest von dem, was du geschrieben hast, geht, wenn du es vernünftig aufschreibst dann durch.

15.12.2014, 19:43

Chris858

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Danke, die erste Idee habe ich soweit!

nun zum 2ten Vorschlag
Sei $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig und sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine beliebige Folge in $\begin{eqnarray*} ([a,b]) \end{eqnarray*}$ , die gegen a konvergiert. Wähle für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_n \in [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_n) = a_n \end{eqnarray*}$ .

Wir setzten voraus dass f stetig ist und wissen das $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine konvergiert $\begin{eqnarray*} a_nk \end{eqnarray*}$ Teilfolge hat die gegen a konvergiert und bilden den Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{k->\infty}f(x_{nk})=\lim_{k->\infty}a_{nk} \end{eqnarray*}$ enspricht bild von f also $\begin{eqnarray*} \left ]a,b \right[ \end{eqnarray*}$
f stetig

$\begin{eqnarray*} f(x_{0})=\lim_{k->\infty}a_{nk} \end{eqnarray*}$ -> element von $\begin{eqnarray*} \left ]a,b \right[ \end{eqnarray*}$

Und das ist nicht möglich!

16.12.2014, 17:33

Guppi12

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Das funktioniert so leider nicht.

Zitat:

Wähle für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_n \in [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_n) = a_n \end{eqnarray*}$ .

Warum muss es ein solches $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ geben? Schließlich liegt $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht notwendigerweise im Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Du kannst aber stattdessen gleich am Anfang annehmen, dass $\begin{eqnarray*} f([a,b]) = (a,b) \end{eqnarray*}$ und dann deine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit Gliedern aus $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ wählen. Dann geht die Wahl von $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ auch wieder so durch.

Zitat:

Wir setzten voraus dass f stetig ist und wissen das $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine konvergiert $\begin{eqnarray*} a_nk \end{eqnarray*}$ Teilfolge hat die gegen a konvergiert und bilden den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert selbst schon gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Wozu noch eine Teilfolge bilden?

Allerdings geht der Schluss hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k->\infty}f(x_{nk})=\lim_{k->\infty}a_{nk} \end{eqnarray*}$ enspricht bild von f also $\begin{eqnarray*} \left ]a,b \right[ \end{eqnarray*}$

so noch nicht durch, der Grenzwert einer Folge von Bildern einer Funktion muss a priori erstmal nicht unbedingt im Bild liegen. Du müsstest hier eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ wählen, die konvergent ist und dann mal weiter sehen. Das läuft allerdings so ziemlich auf das gleiche hinaus, wie der erste Beweis.

17.12.2014, 22:20

Chris858

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Zitat:

Original von Guppi12
Das funktioniert so leider nicht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert selbst schon gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Wozu noch eine Teilfolge bilden?

Allerdings geht der Schluss hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k->\infty}f(x_{nk})\lim_{k->\infty}a_{nk} \end{eqnarray*}$ enspricht bild von f also $\begin{eqnarray*} \left ]a,b \right[ \end{eqnarray*}$

wir wissen x_n liegt im kompakten intervall-> es gibt eine konvergierte teilfolge x_nk die gegen x_0 konvergiert.
mit f(x_n)=a_nk
$\begin{eqnarray*} \lim_{k->\infty}a_{nk}=\lim_{k->\infty}f(x_{nk})=f(x_0)= \end{eqnarray*}$ enspricht bild von f also $\begin{eqnarray*} \left ]a,b \right[ \end{eqnarray*}$

d.h die a_nk teil folge konvergiert

nach konsturktion konvergiert a_n gegen a

also muss der grenzwert allerteilfolgen von a_n gegen a gegen

d.h $\begin{eqnarray*} a=\lim_{k->\infty}a_{nk}=\lim_{k->\infty}f(x_{nk})=f(x_0) \end{eqnarray*}$ enspricht bild von f also $\begin{eqnarray*} \left ]a,b \right[ \end{eqnarray*}$

und das ist der Widerspruch?

17.12.2014, 22:25

Guppi12

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Passt so bis auf das "entspricht bild von f". Du meinst hier "liegt im Bild von f".

17.12.2014, 22:31

Chris858

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danke sehr Wink

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