Isometrie und Bidualraum

14.12.2014, 17:26

daLoisl

Isometrie und Bidualraum

Guten Abend,

ich sitze hier bei folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es zu jedem normierten Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ einen Banachraum $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ isometrisch isomorph zu einem dichten Teilraum von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ist.

Weiters habe ich den Hinweis erhalen, dass man den Bidualraum von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ betrachten soll.

Bisher bin ich so vorgegangen:
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} J_X: X \to X'', x \mapsto ((f: X \to K) \mapsto f(x)) \end{eqnarray*}$ ist injektiv, denn falls $\begin{eqnarray*} x \ne y \end{eqnarray*}$ , gibt es eine Funktion im Dualraum, sodass $\begin{eqnarray*} f(x) \ne f(y) \end{eqnarray*}$ (z. B. die Funktion $\begin{eqnarray*} y \mapsto || x-y||_X \end{eqnarray*}$ ).
Ich nenne die Bildmenge von $\begin{eqnarray*} J_X \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} X_0'' \end{eqnarray*}$ . Dann ist natürlich $\begin{eqnarray*} T: X \to X_0'', x \mapsto ((f: X \to K) \mapsto f(x)) \end{eqnarray*}$ bijektiv.

Unter der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ dicht ist, ist auch $\begin{eqnarray*} X'' \end{eqnarray*}$ dicht mit der passenden Operatornorm (wir haben einen Satz, der besagt, dass die linearen, stetigen Funktionale dicht sind, falls es der Zielraum ist). (Falls $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ nicht dicht ist, ist die Aufgabe nicht lösbar, richtig?)

Weiters habe ich gezeigt, dass gilt: $\begin{eqnarray*} ||T(x) ||_{X''} = || x ||_X \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} ||T||_{L(X,X_0'')} = ||T^{-1}||_{L(X_0'',X)} = 1 \end{eqnarray*}$

Das heißt, $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist isometrisch isomorph zu $\begin{eqnarray*} X_0'' \end{eqnarray*}$ . Wenn nun also $\begin{eqnarray*} X_0'' \end{eqnarray*}$ dicht wäre, dann wäre die Aufgabe gelöst. Aber wie kann ich das zeigen?

Schonmal vielen Dank im Voraus!

Freundliche Grüße
daLoisl

14.12.2014, 18:04

tmo

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1. Was meinst du mit K dicht? Meinst du nicht eher K vollständig?

2. Es ist doch völlig egal, ob X dicht in seinem Bidualraum liegt. Du kannst einfach den Abschluss von X in seinem Bidualraum nehmen. Das ist als abgeschlossener Teilraum wieder ein Banachraum und dort liegt X per Definition dicht.

14.12.2014, 19:13

daLoisl

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Zitat:

1. Was meinst du mit K dicht? Meinst du nicht eher K vollständig?

Verdammt, da hast du vollkommen recht! Da sind mir wohl die Begriffe durcheinander gekommen. Also abgesehen von der Angabe und meiner letzten Zeile sollte nur von Vollständigkeit/Banachräumen die Rede sein.

Zitat:

2. Es ist doch völlig egal, ob X dicht in seinem Bidualraum liegt. Du kannst einfach den Abschluss von X in seinem Bidualraum nehmen. Das ist als abgeschlossener Teilraum wieder ein Banachraum und dort liegt X per Definition dicht.

Vielen Dank, daran habe ich nicht gedacht.

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