Umparametrisieren einer Rotationsfläche

14.12.2014, 18:53	Max1324	Auf diesen Beitrag antworten »
Umparametrisieren einer Rotationsfläche Hallo, aus dem Graphen der Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ entsteht bei Rotation um die x-Achse die Fläche $\begin{eqnarray} x(u,v) = (f(v) cos(u), f(v) sin(u), v)^T \end{eqnarray}$ Ich soll nun zeigen, dass sich diese Fläche unabhängig von der speziellen Funktion so umparametrisieren lässt, dass die erste Fundamentalform die Gestalt $\begin{eqnarray} \bar{g_{11}} = \bar{g}_{11}(\bar{v}), \bar{g}_{12} = \bar{g}_{21} = 0, \bar{g}_{22} = 1 \end{eqnarray}$ annimmt. Dazu habe ich einmal die erste Fundamentalform in ursprünglichen Form ausgerechnet und erhalte: $\begin{eqnarray} g_{11} = f(v)^2<br /> g_{12} = g_{21} = 0<br /> g_{22} = f'(v)^2+1 \end{eqnarray}$ Außerdem kenne ich folgende Beziehungen: $\begin{eqnarray} \bar{g}_{22} = g_{22} (\frac{\partial{v}}{\partial{\bar{v}}})^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \bar{g}_{11} = g_{1} (\frac{\partial{u}}{\partial{\bar{u}}})^2 \end{eqnarray}$ Ich erhalte also für meine Umparametrisierung $\begin{eqnarray} (u,v): \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ folgende Bedingungen: $\begin{eqnarray} \| \frac{\partial{v}}{\partial{\bar{v}}} \| = \frac{1}{\sqrt{f'(v)^2+1}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(v)^2 (\frac{\partial{u}}{\partial{\bar{u}}})^2 \end{eqnarray}$ nur von $\begin{eqnarray} \bar{v} \end{eqnarray}$ abhängig Wie kann ich aber nun zeigen, dass so ein (u,v) immer existiert? Danke und liebe Grüße, Max

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