Maximale Groesse lin. unabh. Mengen

14.12.2014, 20:32	Joefish	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximale Groesse lin. unabh. Mengen Hallo, Entschuldigung fuer den etwas wagen Titel aber wusste nicht wie ich meine Frage praegnant umschreiben koennte. Es geht um folgendes: Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum mit Basis $\begin{eqnarray} (v_i)_{i \in I} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} I = \{1,...,r\} \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} (w_j)_{j \in J} \end{eqnarray}$ eine linear unabhaengige Menge mit $\begin{eqnarray} J = \{1,...,n\} \end{eqnarray}$ . Nur wird in dem Beweis zum Austaschsatz gesagt, dass $\begin{eqnarray} n \leq r \end{eqnarray}$ gefolgert, nicht vorausgesetzt wird. Macht Sinn, aber ich versuchte es zu beweisen..: Angenommen $\begin{eqnarray} n > r \end{eqnarray}$ . Alle $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ aus der Familie $\begin{eqnarray} (w_j)_{j \in J} \end{eqnarray}$ sind Linearkombinationen der Basis, also $\begin{eqnarray} w_j = \sum\limits_{i \in I} \lambda_i v_i \end{eqnarray}$ . Somit folgt, $\begin{eqnarray} 0 = \sum\limits_{j \in J} \mu_j w_j = \sum\limits_{j \in J} \sum\limits_{i \in I} \mu_j \lambda_i v_i \end{eqnarray}$ . (Ab hier hatte ich verschiedene Ideen weiter zu machen, welche meist mit dem Problem endeten, dass ich keine v_i fuer i > r definiert hatte oder sich mir die Index-Hoelle offenbarte..) Also, da $\begin{eqnarray} n > r \end{eqnarray}$ kommt ein $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ mindestens zweimal als Summand in $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j \in J} \sum\limits_{i \in I} \mu_j \lambda_i v_i \end{eqnarray}$ vor. ObdA, seien diese Summanden der Form $\begin{eqnarray} \mu_k \lambda_i v_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu_l \lambda_j v_i \end{eqnarray}$ , womit $\begin{eqnarray} \left(\mu_k \lambda_i + \mu_l \lambda_j \right) v_i \end{eqnarray}$ . Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray} (v_i)_{i \in I} \end{eqnarray}$ Basis, somit $\begin{eqnarray} \mu_k \lambda_i = - \mu_l \lambda_j \end{eqnarray}$ , welches gilt fuer beliebige $\begin{eqnarray} \mu_k \in \mathbb{K} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu_l = - \frac{\mu_k \lambda_i}{\lambda_j} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \lambda_j = 0 \end{eqnarray}$ koennen wir ausschliessen, da $\begin{eqnarray} (w_j)_{j \in J} \end{eqnarray}$ linear unabhaengig also den Nullvektor nicht enthaelt. Somit haben wir eine nicht-triviale Loesung fuer die homogene Gleichung gefunden. Das ist ein Widerspruch zur Basis, also $\begin{eqnarray} n \leq r \end{eqnarray}$ . Fuer jeden der sich die Muehe gemacht hat bis hierher durchzudringen, schon mal danke Auch wenn der Beweis richtig sein mag, erscheint er mir voellig unverhaeltnismaessig in Laenge und Ausfuehrung was noetig sein sollte. EDIT 15/12/14: Ihr braucht meinen Beweis nicht korrigieren, wenn es zu viel Aufwand ist. Jedoch waere ich fuer eure Beweise, die kuerzer sind als meiner, dankbar.
16.12.2014, 15:58	Joefish	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weis, cross-posting ist nicht gerne gesehen, daher wollte ich fragen ab wieviel Tagen das okay ist. Wuesste jetzt nicht was ich sonst machen sollte :/
16.12.2014, 18:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein "Beweis" ist schon ganz am Anfang falsch, denn $\begin{eqnarray} w_j=\sum_{i\in I}\lambda_iv_i \end{eqnarray}$ kann man nicht schreiben. Auf der rechten Seite muss j auftauchen, damit man damit etwas anfangen kann, also z.B. $\begin{eqnarray} w_j=\sum_{i\in I}\lambda_{ij}v_i \end{eqnarray}$ . Warum summierst du über I und J statt einfach endliche Summen zu benutzen ? Das macht alles unnötig kompliziert. Über das $\begin{eqnarray} 0=... \end{eqnarray}$ mit Doppelsumme muss der Leser lange nachdenken, bevor er versteht, dass du hier aus der linearen Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ die triviale Darstellung der 0 folgerst. Warum sagst du das nicht ? Der Rest des "Beweises" erfordert auch ein gerüttelt Maß an gutem Willen, er enthält haufenweise Fehler, und meine Geduld ist irgendwann am Ende. Tut mir leid. Ist die Aussage nicht trivial ? In einem endlichdimensionalen Vektorraum ist die Dimension definiert als die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren. Das ist die Mächtigkeit einer jeden Basis. Muss man das beweisen ? Weiß man das nicht schon vor dem Austauschsatz ?
17.12.2014, 10:02	Joefish	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal Danke fuer deine Antwort. Ich dachte mir schon, dass es etwas Wirr ist, deswegen schrieb ich am Ende, dass mein Beweis nicht korrigiert werden muss, sondern 'einfachere' Gedanken schon ausreichen wuerden, um mir andere Moeglichkeiten zu zeigen. Und ja, meine Frage ist trivial. Jedoch wollte ich die Annahme, dass es eine linear unabhaengige Menge gibt, deren Maechtigkeit groesser als die der Basis zum Widerspruch fuehren. Und da im Prinzip weis man das schon vor dem Austauschsatz nach der Unverkuerzbarkeit sowie nicht Erweiterbarkeit von Basen. Nur ist es denn so abwegig einen anderen Weg zu suchen fuer einen Beweis der eigentlich trivial ist? Ich haette in meinem Versuch wohl ausfuerhlicher Argumentieren sollen, jedoch war ich mir sicher, dass sich dann erst recht niemand die Muehe machen wuerde fuer so etwas triviales. Und stimmt ich haette da wohl Doppelindices benutzen sollen fuer die Eindeutigkeit. Aber ob jetzt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^r \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i \in I} \end{eqnarray}$ sehe ich persoenlich keinen grossen Unterschied. Wohl alles geschmackssache
17.12.2014, 10:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht nur Geschmackssache, denn du selbst verwirrst dich in einem komplizierten Beweis für eine einfache Sache. Vermutlich kannst du den Beweis führen, wenn du ihn einfacher gestaltest und richtiger und vollständiger und verständlicher. Ein berühmter Mathematiker (war es David Hilbert ?) hat einmal gesagt (ich zitiere aus dem Gedächtnis) : "Wenn es die Sache leidet, soll man einfache Dinge einfach darstellen." Soeben fällt mir noch auf, dass man $\begin{eqnarray} \lambda_{ij}=0 \end{eqnarray}$ nicht ausschließen kann, womit wir die Notwendigkeit der Doppelindizes einsehen. D.h. nicht nur benutzen "sollen", sondern benutzen "müssen".

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