Komplexe Zahlen Hauptwert, arithm. & trigon. Form - Seite 2

17.12.2014, 09:48

Cl3audia

Guten Morgen zurück smile

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{2}{9j+1} = 1 - \frac{18j-2}{81j^2-1} = 1 - \frac{18j-2}{-82} = 1 + \frac{18j-2}{82} = \frac{18j-2 +82}{82} = \frac{40}{41}+\frac{9}{41}j \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Multipliziert man nun diese beiden Zahlen und steckt das Produkt in den Exponenten der e-Funktion, ergibt sich also die Zahl $\begin{align*} 1 \cdot e^{i \cdot \frac { \pi }2} \end{align*}$ . Und das ist die Polarform einer Zahl mit Betrag 1 und Winkel 90°. Und das wiederum ist, wie oben beschrieben, eben die Zahl i. Ist das nicht schön?

So ganz habe ich das noch nicht verdaut. Aber der Unterschied ist mir schon wenigstens klarer geworden, zwischen den Darstellungen. Obwohl wenn ich das in die trigonometrische Form einsetze erhalte ich doch genau $\begin{eqnarray*} 1 \cdot \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = i \end{eqnarray*}$ das ist doch der springende Punkt.

Jetzt noch bei f)
$\begin{eqnarray*} |z| = \sqrt{\left(\frac{40}{41}\right)^2+\left(\frac{9}{41}\right)^2} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \arctan \left(\frac{9}{40} \right) = 12.68^\circ \end{eqnarray*}$

Also bekomme ich die trigonometrische Form:

$\begin{eqnarray*} z = 1\cdot \cos(12.68^\circ) + i \sin (12.68^\circ) \end{eqnarray*}$

Ja? oder Ja? Big Laugh

Claudia

17.12.2014, 10:08

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Cl3audia

$\begin{eqnarray*} \frac{40}{41}+\frac{9}{41}j \end{eqnarray*}$

Prima!

Zitat:

Original von Cl3audia
Ja? oder Ja?

Ja.

Viele Grüße
Steffen

17.12.2014, 10:19

Cl3audia

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Das war dann wohl alles?
Ich bedanke mich unendlich sehr, ich würde zum Dank Kekse oder Kuchen backen und Euch per Drohne zukommen lassen :P

Wer leiht mir seine Drohne :P ?

Claudia

17.12.2014, 10:35

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Cl3audia
Ich bedanke mich unendlich sehr

Nichts zu danken, dafür ist das Matheboard da. Ich glaube, Dir ist im Verlauf des Threads einiges klarer geworden. Und ich hoffe, dass es Dir bei den nächsten mathematischen Hürden hilft.

Viele Grüße
Steffen

17.12.2014, 13:10

mYthos

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$\begin{eqnarray*} e^{j \frac{\pi} 2} = j \end{eqnarray*}$

Genau mit dem Einsetzen in die trigonometrische Form hast du dies vollzogen und dann ist dies auch klar geworden!
Es hilft auch, die komplexe Zahl einfach als Vektor in die komplexe Ebene einzutragen, dieses Bild sagt dann mehr als 1000 Worte.

Übrigens ist z.B.

$\begin{eqnarray*} e^{j \pi} = -1 \end{eqnarray*}$

Ist dir das klar?

------------

Eine Drohne (Quadcopter) befindet sich im Besitz meines Sohnes, der kann sie auch gut fliegen.
Also brauche ich von dir nur noch die Koordinaten deines Keks-Backofens (in WGS84-Koordinaten!)
Big Laugh

Gr
mYthos

17.12.2014, 13:41

Cl3audia

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Es ist auf jeden Fall sehr viel klar geworden.
Aber eine Sache noch:

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ich persönlich mache es mir immer bildlich klar. Der Realteil a ist ja die Horizontalachse, der Imaginärteil b die Vertikalachse. Wenn ich dann weiß, dass z.B. a wie auch b negativ sind, sind wir also "unten links" im dritten Quadranten. Der Arcustangens wird zwar einen Winkel zwischen 0° und 90° ausgeben, aber ich weiß dann, dass ich einfach 180° dazuzählen muss, damit's stimmt.

Und wenn ich im vierten Quadranten bin dann ist der Realteil positiv und der Imaginärteil negativ dann muss ich 180°+90° dazuaddieren?
Im ersten Quadranten passiert nichts.
Im Zweiten muss ich 90° dazuaddieren?
Im Dritten ja 180°
Was geschieht mit dem Vorzeichen eigentlich?

Claudia

17.12.2014, 13:49

Steffen Bühler

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Machen wir vier einfache Beispiele:

z=a+bi

I. Quadrant:
a=1; b=1
b/a=1, arctan(1)=45°
Passt.

II. Quadrant:
a=-1; b=1
b/a=-1, arctan(-1)=-45°
Passt nicht, denn Winkel muss ja 90°..180° sein, wie wir wissen.
Also 180° addieren: -45°+180°=135°

III. Quadrant:
a=-1; b=-1
b/a=1, arctan(1)=45°
Passt nicht, denn Winkel muss ja 180°..270° sein, wie wir wissen.
Also 180° addieren: 45°+180°=225°

IV. Quadrant:
a=1; b=-1
b/a=-1, arctan(-1)=-45°
Passt.

Du siehst, solange a>0 ist alles ok.

Dann haben wir allerdings noch nicht den Sonderfall a=0 besprochen. Aber der ist auch nicht schwer, oder?

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