einfache Aussagen über zwei Vektoren

15.12.2014, 16:03

Shinobi.Master

einfache Aussagen über zwei Vektoren

Hallo Matheprofis,

diesmal nur eine ganz einfache Aufgabe von Vektoren , bei der ich lediglich mir unsicher bin, ob es so stimmt.

Mit $\begin{eqnarray*} <.,.> \end{eqnarray*}$ ist das Skalarprodukt und mit ||.|| die induzierte Norm gemeint.

Aufgabe:
"Sind folgende Aussagen wahr oder falsch? Geben Sie eine kurze Begründung oder ein Gegenbeispiel an.

a) Für alle $\begin{eqnarray*} v,w \in V \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} <v,w>\cdot v - ||v||^2w\perp v \end{eqnarray*}$

b) Aus $\begin{eqnarray*} v||w \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} ||v+w|| = ||v||+||w|| \end{eqnarray*}$ "

Für a) denke ich, dass es nicht stimmt, denn nur weil v bzw. w mit einem Skalar multipliziert wird( $\begin{eqnarray*} <v,w>\cdot v \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} ||v||^2w \end{eqnarray*}$ ) und danach aus beiden die Differnz gebildet wird, heißt es noch lange nicht, dass das orthogonal zu v ist. Oder?

Für b) denke ich, dass es stimmt. Schließlich sind erstmal beide parallel. D.h. ihre Richtung ist gleich und damit auch die Vorzeichen der X,Y,Z - Richtung... ob man diese dann erst addiert und dann im Betrag nimmt oder erst im Betrag und dann addiert spielt dann keine Rolle mehr. Oder?

Viel Dank schon einmmal im voraus für eure Unterstützung!

15.12.2014, 16:20

Shinobi.Master

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Für a) habe ich eben noch probiert ein Gegenbeispiel zu finden, aber ich habe dadurch die Aussage nicht widerlegen können...

Ich habe mal für v =(1 2) und für w =(0 -1) eingesetzt. Das Ergebnis ist jedoch orthogonal...

Wie kann ich das jetzt also begründen?

"Ich bin bei dem Versuch ein Gegenbeispiel zu finden gescheitert, woraus folgt, dass die Aussage wahr ist."?

15.12.2014, 16:41

sixty-four

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zu a)

Multipliziere die Linearkombination

$\begin{eqnarray*} <\mathfrak{v},\mathfrak{w}>\mathfrak{v}- ||\mathfrak{v}||^2 \mathfrak{w} \end{eqnarray*}$

doch mal skalar mit $\begin{eqnarray*} \mathfrak{v} \end{eqnarray*}$

Was kommt raus?

zu b)

Was erhältst du mit $\begin{eqnarray*} \mathfrak{v}=-\mathfrak{w} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \mathfrak{v} \end{eqnarray*}$ nicht der Nullvektor ist?

15.12.2014, 16:58

Shinobi.Master

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a) 0, also ist die Aussage Wahr. Richtig?

b) Eine Parallele nur in Rückrichtung. Hab es in der Rechnung eingefügt und sieh da es kommt raus: 0 = 2*Wurzel(5)

Ein erfolgreiches Gegenbeispiel. Dankeschön!

15.12.2014, 17:07

sixty-four

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Zitat:

Original von Shinobi.Master
a) 0, also ist die Aussage Wahr. Richtig?

Ja, wenn du beim Skalarprodukt 0 herausbekommen hast, bedeutet das, dass die Vektoren orthogonal sind und die Aussage wahr ist. Sie ist aber nicht deshalb wahr, weil du kein Gegenbeispiel gefunden hast.

Zitat:

Original von Shinobi.Master
b) Eine Parallele nur in Rückrichtung. Hab es in der Rechnung eingefügt und sieh da es kommt raus: 0 = 2*Wurzel(5)

Ein erfolgreiches Gegenbeispiel. Dankeschön!

Da brauchst du doch nichts mehr zu rechnen. Egal, wie du $\begin{eqnarray*} \mathfrak{v} \end{eqnarray*}$ unter diesen Bedingungen wählst: Es steht links immer eine 0 und auf der rechten Seite ein Wert ungleich 0.

15.12.2014, 17:16

Shinobi.Master

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Vielen Dank!

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