Stetig + beschränkt + nicht gleichmäßig stetig

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15.12.2014, 17:18	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetig + beschränkt + nicht gleichmäßig stetig Meine Frage: Man konstruiere ein Beispiel einer stetigen und beschränkten Funktion $\begin{eqnarray} f: [0,1[ -> \mathbb{R} \end{eqnarray}$ die nicht gleichmäßig stetig ist. Meine Ideen: Mein Vesuch war $\begin{eqnarray} sin(x^2): [0,1[ -> \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|sin(x^2)\| /leq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} sin(x^2) \end{eqnarray}$ ist als Komposition von stetigen Funktionen stetig. Ich weiß aber nicht ob $\begin{eqnarray} sin(x^2) \end{eqnarray}$ auf[0,1[ glm. stetig oder eben nicht glm. stetig ist. Bin auf der Suche nach Folgen $\begin{eqnarray} x_n , y_n \in [0,1[\forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} \|x_n - y_n\| \end{eqnarray}$ eine Nullfolge ist und $\begin{eqnarray} \|sin(x^2) - sin(y^2)\|> \epsilon \end{eqnarray}$ für ein festes Ausnahme-epsilon ist.
15.12.2014, 17:24	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn sich deine Funktion stetig auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ fortsetzen lässt, muss sie auch gleichmäßig stetig auf $\begin{eqnarray} [0,1) \end{eqnarray}$ sein. Da kannst du dir ja mal überlegen, wieso. Du musst dir also eine Funktion überlegen, die sich nicht stetig auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ fortsetzen lässt.
15.12.2014, 18:03	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja es ist klar, dass eine stetige Funktion $\begin{eqnarray} f:[0,1[ -> \mathbb{R} \end{eqnarray}$ genau dann glm. stetig ist wenn $\begin{eqnarray} lim_{x->1} f(x) \end{eqnarray}$ existiert. Da heißt ja dann, dass $\begin{eqnarray} sin(x^2) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0,1[ \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig ist? Hast du einen Tipp für eine Funktion, die nicht stetig fortsetzbar ist auf [0,1] ?
15.12.2014, 19:37	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nunja, der Sinus ist ja eigentlich schonmal eine gute Idee. Du müsstest ihn halt jetzt mit etwas verknüpfen, was bewerkstelligt, dass, je näher du dich der 1 näherst, beliebig große Steigungen auftreten. Fällt dir da was ein?
16.12.2014, 10:58	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist, wenn die Funktion bei 1 nach oben/unten abhaut ist die Funktion ja nicht mehr beschränkt. Bräuchte ich dann nicht eigentlich eine Funktion sodass der rechts und linksseitige Grenzwert bei 1 verschieden ist aber beide existieren (in dem Sinne $\begin{eqnarray} < \infty \end{eqnarray}$ ) oder ist das falsch? LG
16.12.2014, 11:19	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, dass der linksseitige Limes nicht existieren darf, hatten wir doch schon. Fällt dir nicht eine Möglichkeit ein, beliebig große Steigungen zu erzeugen, ohne dass die Funktion unbeschränkt wird? Wenn du einen Ansatz sin(g(x)) verwendest, hast du doch automatisch Beschränktheit. Du musst bloß auf das richtige g kommen.
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16.12.2014, 15:47	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay klar Mein Versuch: $\begin{eqnarray} sin (\frac{1}{x-1}): [0,1[ \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -) $\begin{eqnarray} \|sin (\frac{1}{x-1})\| \leq 1 \forall x \in[0,1[ \end{eqnarray}$ -) $\begin{eqnarray} sin (\frac{1}{x-1}) \end{eqnarray}$ stetig im Definitionsbereich als Komposition stetiger Funktionen -) $\begin{eqnarray} sin (\frac{1}{x-1}) \end{eqnarray}$ nicht gleichmäßig stetig Wäre die Funktion gleichmäßig stetig, dann exstiert insbesondere für $\begin{eqnarray} \epsilon :=2 ein \delta>0 \end{eqnarray}$ Wähle $\begin{eqnarray} x_n = 1-\frac{1}{2 \pi n} \in [0,1[ \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_n = 1-\frac{1}{2 \pi n + \pi/2} \in [0,1[ \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Dann gilt $\begin{eqnarray} \exists n_0 \in \mathbb{N}: \forall n \ge n_0: \|x_n - y_n\| < \delta \end{eqnarray}$ Aber $\begin{eqnarray} \| sin (\frac{1}{x_n-1}) - sin (\frac{1}{y_n-1})\| = \|0 -1\|= 1 > 2=\epsilon \end{eqnarray}$ Liebe Grüße, MagI
16.12.2014, 17:19	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt soweit (habs nicht ganz genau nachgerechnet, der Weg ist aber auf jeden Fall richtig) Aber du musst natürlich $\begin{eqnarray} \epsilon = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ wählen. $\begin{eqnarray} 1>\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ ist richtig, $\begin{eqnarray} 1>2 \end{eqnarray}$ hingegen nicht
16.12.2014, 17:52	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups-..Ja klae Vielen lieben Dank für die Hilfe. Hab einer schöne Woche
16.12.2014, 19:56	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne Ebenso eine schöne Woche !

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