Beweis Ecke Basis lin unabh

15.12.2014, 17:20

Mausderhaus

Beweis Ecke Basis lin unabh

Meine Frage:
Hallo smile

Ein Punkt $\begin{eqnarray*} x\in P \end{eqnarray*}$ ist eine Ecke von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn die zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gehörende Basis von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist.
ei $\begin{eqnarray*} P= {x|Ax=b, x \ge0} \end{eqnarray*}$ und bezeichne $\begin{eqnarray*} a^{(i)} \end{eqnarray*}$ die i-te Spalte von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Element aus $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I = {i| x_{i} >0} \end{eqnarray*}$ die Menge aller Indizes mit $\begin{eqnarray*} x_{i} >0 \end{eqnarray*}$ . Die Menge $\begin{eqnarray*} {a^{(i)} |i \in I} \end{eqnarray*}$ wird die zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gehörende Basis von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ genannt. Für die zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gehörende Basis von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{i\in I} x_{i} a^{(i)}=b. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Ich habe bei der einen Richtung ein Problem beim Beweis:

Sei $\begin{eqnarray*} {a^{(i)}|i \in I } \end{eqnarray*}$ linear unabhängig. Angenommen, es wäre $\begin{eqnarray*} x= \lambda y +(1- \lambda)z \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} 0< \lambda < 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y,z \in P \end{eqnarray*}$ .
Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die eindeutige Lösung des lin. Gleichungssystems $\begin{eqnarray*} Ax=b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{i} = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \not\in I \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ der Gleichung $\begin{eqnarray*} Ay=b \end{eqnarray*}$ genügt, gibt es einen Index $\begin{eqnarray*} i \not\in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_{i} >0 \end{eqnarray*}$ . Wg. $\begin{eqnarray*} z \ge 0 \end{eqnarray*}$ ist dann die i-te Komponente von $\begin{eqnarray*} \lambda y +(1- \lambda)z \end{eqnarray*}$ widersprüchlicherweise positiv.

So, das meiste ist klar, nur leider verstehe ich überhaupt nicht, wieso $\begin{eqnarray*} i \not\in I \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_{i} >0 \end{eqnarray*}$ . Kann mir jemand helfen?

Wäre super !! smile

GLG

Edit Guppi12: Latex-Klammern gesetzt. Formeln müssen zwischen

code:
1:	[latex]...[/latex]

geschrieben werden.

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