Laplace-Gleichung, Poissonformel?

15.12.2014, 18:09	Orez	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace-Gleichung, Poissonformel? Hallo, es sei $\begin{eqnarray} \Omega = \{ (x_{1}, x_{2} \| \sqrt{ x_{1}^2 + x_{2}^2 } <= 10 \} \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} u=u(x_{1},x_{2}) \end{eqnarray}$ eine harmonische Funktion auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , die auf dem Rand von $\begin{eqnarray} \Omega \ \end{eqnarray}$ die Funktion $\begin{eqnarray} u=u(x_{1},x_{2})=7x_{1}x_{2} \end{eqnarray}$ erfüllt. Berechne $\begin{eqnarray} u(3,6) \end{eqnarray}$ Meine Idee: ich verwende die Poisson Formel in Polarkoordinaten, für $\begin{eqnarray} u(r,\varphi) \end{eqnarray}$ komme ich nach einigem Rechnen auf das folgende Zwischenresultat: $\begin{eqnarray} u(r,\varphi) = \int \frac{\sin(\varphi ') \cos(\varphi ')}{\cos(\varphi ' - \varphi) r -1} d\varphi ' \end{eqnarray}$ und dies ist ein nicht-elementares Integral, ab hier komme ich also nicht mehr weiter ... vielleicht sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht, die Aufgabe sieht auf den ersten Blick ja ziemlich banal aus. kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie ich die Aufgabe am besten löse. Ist der Ansatz mit Poissonformel richtig? Vielen Dank schon mal für alle Tipps orez
15.12.2014, 19:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace-Gleichung, Poissonformel? In dem Fall ist es extrem leicht die Lösung zu raten.
15.12.2014, 19:49	Orez	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace-Gleichung, Poissonformel? Hallo IfindU, das hört man gerne, doch $\begin{eqnarray} u(3,6) \end{eqnarray}$ liegt ja im innern vom Kreis und nicht auf dem Kreis, wie kann ich denn hier eine Lösung erraten? Also abgesehen davon, dass man ja eigentlich immer die Lösung erraten kann ? Kannst du mir bitte noch einen kleinen Zusatztipp gegen.
15.12.2014, 19:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace-Gleichung, Poissonformel? Hey, überlege dir mal eine Funktion, die die Randterme erfüllt. Es gibt eine kanonische -- und die ist sofort harmonisch. Und natürlich kann man die immer raten -- aber es gibt Fälle wo einem die Lösung auf einem silbernen Tablet geliefert wird Edit: Mit $\begin{eqnarray} \cos ( \varphi - \varphi') = \cos ( \varphi) \cos(\varphi') + \sin(\varphi) \sin(\varphi') \end{eqnarray}$ könnte man vlt auch das Integral oben knacken.
15.12.2014, 21:03	Orez	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace-Gleichung, Poissonformel? Hallo IfindU, was ich machen könnte ist ja dies, wenn ich für die gesuchte Funktion einfach die Randfunktion verwende, weil die einzige Bedingung, die ich an die gesuchte Funktion stelle ist, dass sie harmonisch ist - und die Randfunktion ist harmonisch. das heisst: Eine Lösung heisst: $\begin{eqnarray} u(x,y) = 7x_{1}x_{2} \end{eqnarray}$ für ganz Omega ist das die kanonische Form die du gemeint hast? Oder habe ich noch was verpasst? Danke schon mals Orez Das Integral kann ich bzw. Stephen Wolfram immer noch nicht lösen, darum dachte ich es sei nicht elementar.
15.12.2014, 22:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace-Gleichung, Poissonformel? Nach dem Maximumsprinzip existiert nur eine Lösung. Und da dein u das Problem löst, ist es die eindeutige Lösung. Und das Integral sollte eigentlich zu knacken sein. Nach der Generalsubstitution sollte da ein rationales Polynom stehen, was hoffentlich nicht zu hohen Grad hat. Edit: Aus Neugier habe ich das ganze mal bei Wolfram Alpha eingegeben: Lösung. Es sieht natürlich sehr schlimm aus, aber mit ein paar natürlichen Fallunterscheidungen sollte das deutlich schöner aussehen.
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16.12.2014, 05:37	Orez	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace-Gleichung, Poissonformel? Hallo IFindU, vielen Dank für deine Antwort! Hat es auch eine Bedeutung, dass die Lösung kanonisch ist, ich frage nur, weil du es speziell erwähnt hast. Danke nochmals Orez Bezüglich dem Integral, Wenn ich die Integrationsgrenzen (0... Pi)angebe , liefert Wolfram kein Ergebnis.
16.12.2014, 09:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laplace-Gleichung, Poissonformel? Hey, nein, ich wollte nur betonen, dass du nicht lange nach komplizierten Lösungen suchen sollst.

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