Eigenwerte des eindimensionalen Laplaceoperators mit Zusatzbedingung

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15.12.2014, 18:44	CnGDel	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte des eindimensionalen Laplaceoperators mit Zusatzbedingung Halli-Hallo. In einer Aufgabe soll ich für die DGL $\begin{eqnarray} \frac{d^2}{dx^2} u =- \lambda u \end{eqnarray}$ mit der Zusatzbedingung $\begin{eqnarray} u(x+1)=e^{i \theta x}u(x) \end{eqnarray}$ die Menge der Eigenwerte in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ bestimmen, also $\begin{eqnarray} \sigma(\theta) = \{ \lambda \in \mathbb{C}: \textbf{es gibt ein } u \neq 0 \textbf{, das die DGL mit Zusatzbedingung erfüllt} \} \end{eqnarray}$ . Meine Ansätze: Die DGL habe ich bereits gelöst. Die allgemeine Lösung lautet $\begin{eqnarray} u(x)= C_1e^{\sqrt{-\lambda}x}+C_2e^{-\sqrt{-\lambda}x} \end{eqnarray}$ , sofern $\begin{eqnarray} \lambda \neq 0 \end{eqnarray}$ Andernfalls wäre die Lösung einfach $\begin{eqnarray} u(x) = C_1x+C_2 \end{eqnarray}$ Die Probleme entstehen erst bei der Zusatzbedingung. Meiner Lösung nach muss ja offenbar gelten: $\begin{eqnarray} &(C_1e^{\sqrt{-\lambda}x}+C_2e^{-\sqrt{-\lambda}x})e^{i \theta x} &= C_1e^{\sqrt{-\lambda}(x+1)}+C_2e^{-\sqrt{-\lambda}(x+1)}\\ \Leftrightarrow &C_1e^{\sqrt{-\lambda}x+i \theta x}+C_2e^{-\sqrt{-\lambda}x+i \theta x} &= C_1e^{\sqrt{-\lambda}x + \sqrt{-\lambda}}+C_2e^{-\sqrt{-\lambda}x - \sqrt{-\lambda}}\\ \\ \Rightarrow &\sqrt{-\lambda}x+i \theta x &= \sqrt{-\lambda}x + \sqrt{-\lambda}\\ \textbf{ und } &-\sqrt{-\lambda}x+i \theta x &= -\sqrt{-\lambda}x - \sqrt{-\lambda}\\ \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} i \theta x = \sqrt{-\lambda} = -\sqrt{-\lambda} \textbf{ und daher } \lambda = 0 \end{eqnarray}$ Wo ist nun mein Fehler, denn offenbar gibt es da einen? Liebe Grüße, CnGDel
15.12.2014, 19:49	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte des eindimensionalen Laplaceoperators mit Zusatzbedingung Erst mal Aufgabe abklopfen: In der Zusatzbedingung steht auch wirklich $\begin{eqnarray} e^{i\theta x} \end{eqnarray}$ und nicht nur $\begin{eqnarray} e^{i\theta } \end{eqnarray}$ , wie es bei einer quasiperiodischen Lösung der Fall wäre?
15.12.2014, 20:21	CnGDel	Auf diesen Beitrag antworten »
japp... ist so richtig
15.12.2014, 20:32	CnGDel	Auf diesen Beitrag antworten »
also mit x ist es richtig
15.12.2014, 20:58	CnGDel	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut... Nehmen wir mal an die Aufgabenstellung sei fehlerhaft und das x sei wirklich zuviel. Wie gehe ich dann damit um, dass $\begin{eqnarray} i \theta = - \sqrt{ - \lambda } = \sqrt{ - \lambda } \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \theta = - \sqrt{ \lambda } = \sqrt{ \lambda } \end{eqnarray}$ Ist dann $\begin{eqnarray} \sigma (\theta) = \{ \lambda = \theta^2 : \theta \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray}$
15.12.2014, 21:17	CnGDel	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Güte... Bitte entschuldigt die Mehrfachposts... Nach 15 Minuten kann man leider nicht mehr editieren. Habe meinen Übungsleiter angeschrieben. Tatasächlich hat sich da offenbar ein Fehler eingeschlichen. Erstmal gut, das zu wissen...
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15.12.2014, 21:26	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Fall, dass das x zu viel ist, komme ich auf die gleichen Eigenwerte wie du. Falls das x da hin gehört, ergibt sich neben der Differentialgleichung noch die Einspannbedingung u(1)=u(0). Ich kann mir nicht vorstellen, dass man dann auch noch die allgemeine Bedingung $\begin{eqnarray} u(x+1)=e^{i\theta x}u(x) \end{eqnarray}$ erfüllen kann. Aber mein Wissen über Randwertaufgaben ist betrüblich schlecht. Edit: ich komme im quasiperiodischen Fall auf die Bedingung $\begin{eqnarray} \theta \pm \sqrt\lambda \in2\pi\mathbb{Z} \end{eqnarray}$
16.12.2014, 00:12	CnGDel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn jetzt da drauf? Also stimmt bei meiner Lösung was nicht?
16.12.2014, 22:19	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen, da stimmt was nicht. Letztlich läuft es wohl auf die Frage hinaus, wann $\begin{eqnarray} e^{it}=1 \end{eqnarray}$ gilt

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