Verschoben! Maximierung/Minimierung mit Lagrange Funktion

15.12.2014, 19:51

Helmi121

Maximierung/Minimierung mit Lagrange Funktion

Ich habe folgende Frage:
Angenommen wir haben ein Maximierungsproblem/Minimierungsproblem einer Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ unter einer Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} g(x,y) = c \end{eqnarray*}$ .

Zuerst ist ja die Langrangefunktiona gemäß folgender Formel aufzustellen:

$\begin{eqnarray*} L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda * (g(x,y) - c) \end{eqnarray*}$

Diese wird dann partiell nach $\begin{eqnarray*} x,y,\lambda \end{eqnarray*}$ abgeleitet, um die notwendinge Bedingung zu prüfen, also das Vorliegen eines stationären Punktes.

$\begin{eqnarray*} f_x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_y = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{\lambda} = 0 \end{eqnarray*}$

Nehmen wir an, wir haben einen stationären Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0, \lambda_0) \end{eqnarray*}$ gefunden und wollen nun die hinreichende Bedingung prüfen.

Dazu stellen wir die berandete Hessematrix auf:

$\begin{eqnarray*} H_B = \begin{pmatrix}0 & g_x & g_y \\ g_x & L_{xx} & L_{xy} \\ g_y & L_{yx} & L_{yy} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese ist nun auf ihre Definitheit zu untersuchen. Womit wir zu meiner Frage kommen:

In der Vorlesung wird diese Definitheit durch unterschiedliche Herangehensweisen untersucht.

Einmal, indem die Determinante von $\begin{eqnarray*} H_B \end{eqnarray*}$ nach folgender Formel bestimmt wird:

$\begin{eqnarray*} detH_B=-L_{yy}g^2_x+2L_{xy}g_xg_y - L_{xx}g^2_y \end{eqnarray*}$

Und einmal durch die Einfache Bestimmung der Determinanten der $\begin{eqnarray*} 2x2 \end{eqnarray*}$ Matrix, die Teil der beränderten Hessematrix ist:

$\begin{eqnarray*} H_L = \begin{pmatrix}L_{xx} & L_{xy} \\ L_{yx} & L_{yy} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Frage: Was mache ich nun wann? Also unter welchen Voraussetzungen nehme ich die Determinante von $\begin{eqnarray*} H_B \end{eqnarray*}$ und wann nutze ich $\begin{eqnarray*} H_L \end{eqnarray*}$ ?

/edit Ups sehe gerade falsches Forum, das sollte in die Hochschul-Analysis. Kann das bitte jemand verschieben?

16.12.2014, 11:31

Huggy

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RE: Maximierung/Minimierung mit Lagrange Funktion
Bei Extrema mit Nebenbedingungen ist für die hinreichenden Bedingungen ausschließlich die geränderte Hessematrix zuständig. Dabei geht es auch nicht um die Definitheit dieser Matrix, sondern um die Vorzeichenreihenfolge der Hauptminoren. Bei 2 Variablen und einer Nebenbedingung reduziert sich das aber auf die Determinate der geränderte Hessematrix.

Die normale Hessematrix ist nur bei Extrema ohne Nebenbedingungen zu verwenden. Und da geht es um die Definitheit der Matrix. Da in diese Matrix eventuelle Nebenbedingungen gar nicht eingehen, kann sie offensichtlich über Extrema mit Nebenbedingungen auch nichts aussagen.

16.12.2014, 12:12

Helmi121

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Danke für die Antwort! Das wirft bei mir eine Folgefrage auf, da wir in den Folien zu den Maximierungsproblemen unter NB Folgendes stehen haben (nach dem Teil mit der geränderten Hessematrix):

Zitat:

Überschrift: Hinreichende Bedingungen (Konkave/Konvexe Funktion)
Angenommen, $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0, \lambda_0) \end{eqnarray*}$ sei ein stationärer Punkt für die Lagrangefunktion $\begin{eqnarray*} L(x , y , \lambda) \end{eqnarray*}$ . Wenn die Lagrangefunktion $\begin{eqnarray*} L(x , y , \lambda_0) \end{eqnarray*}$ konkav in $\begin{eqnarray*} (x , y ) \end{eqnarray*}$ ist, dann löst $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ das Maximierungsproblem. Wenn die Lagrangefunktion $\begin{eqnarray*} L(x , y , \lambda_0) \end{eqnarray*}$ konvex in $\begin{eqnarray*} (x , y ) \end{eqnarray*}$ ist, dann löst $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ das Minimierungsproblem.

Wenn die Hesse-Matrix

$\begin{eqnarray*} H_L=\begin{pmatrix} L_{xx}(\lambda_0) & L_{xy}(\lambda_0) \\ L_{yx}(\lambda_0) & L_{yy}(\lambda_0) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \in D \end{eqnarray*}$ positiv semidefinit ist, dann ist $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ ein Minimum
für alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \in D \end{eqnarray*}$ negativ semidefinit ist, dann ist $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ ein Maximum

Angenommen, $\begin{eqnarray*} H_L(\lambda_0) \end{eqnarray*}$ ist negativ semidefinit. Dann maximiert ein Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ die Lagrangefunktion für ale $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} L(x_0,y_0\lambda_0) = f(x_0,y_0) - \lambda_0 * (g(x_0,y_0) -c) \geq f(x,y) - \lambda_0 * (g(x,y) - c) = L(x,y,\lambda_0) \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ dann auch noch die NB $\begin{eqnarray*} g(x_0, y_0) = c \end{eqnarray*}$ erfüllt dann folgt aus obiger Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x_0,y_0) \geq f(x,y) \end{eqnarray*}$

Als Beispiel ist dazu folgendes aufgeführt:

$\begin{eqnarray*} min_{x,y} ~ x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u.d.N.~ x+2y = 10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L(x,y,\lambda) = x^2 + y^2 - \lambda (x+2y-10) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_x = 2x-\lambda = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_y = 2y - 2\lambda = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_{\lambda} = -(x+2y-10) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x_0,y_0,\lambda_0) = (2,4,4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_L=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hesse Matrix ist positiv semidefinit, Lagrange Funktions ist konvex und unser stationärer Punkt is ein Minimum.

Frage: Wie ist dies denn dann zu verstehen? Für mich sieht es nämlich so aus, als würde hier einfach die normale Hessematrix als beweis für ein Minimum herangeführt.

16.12.2014, 13:06

Huggy

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Deine Matrix $\begin{eqnarray*} H_L \end{eqnarray*}$ ist ja nicht die normale Hessematrix, sondern eine Teilmatrix der geränderten Hessematrix. Die normale Hessematrix wird ja aus den 2. Ableitungen der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gebildet und nicht aus den 2. Ableitungen von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ .

16.12.2014, 13:18

Helmi121

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OK, das heißt also, ich kann mir die Teilmatrix der beränderten Hessematrix anschauen, um so auf konvex/konkav zu schließen? Wenn diese mir positive/negative Semi-Definitheit aufweist reicht das aus, um ein Max/Min zu beweisen. Wenn diese indefinit ist muss ich mir die Determinante von $\begin{eqnarray*} H_B \end{eqnarray*}$ anschauen?

/edit Das würde erklären, wieso in den Beispielen/Lösungen immer dann H_L benutzt wird, wenn diese auch wirklich semi definit ist.

16.12.2014, 15:15

Huggy

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Also ich kenne das Verfahren ein wenig anders. Siehe z. B.

http://statmath.wu.ac.at/courses/mvw_mat...unktion-2x4.pdf

Ich beschränke mich mal auf den Fall von 2 Variablen und einer Nebenbedingung. Das erste Beispiel in dem Link ist deinem Beispiel sehr ähnlich. Gemäß obigem Link würde man $\begin{eqnarray*} |H_B| \end{eqnarray*}$ bestimmen. Bei deinem Beispiel ergibt sich

$\begin{eqnarray*} |H_B|=-10<0 \end{eqnarray*}$

Also liegt ein lokales Minimum vor. Die Matrix $\begin{eqnarray*} H_L \end{eqnarray*}$ wird nicht benutzt und nicht benötigt. Der Weg über $\begin{eqnarray*} H_L \end{eqnarray*}$ aus deinem Skript scheint eine Alternative zu sein, die mir bisher nicht bekannt war.

16.12.2014, 15:27

Helmi121

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Eben dies hat mich verwundert, weil ich bei allen online Suchen, wie ich das Problem angehe, immer nur auf den Weg mit der Determinanten gestoßen bin, dabei ist nie die Teilmatrix verwendet worden. Und plötzlich poppt das bei uns im Skript und den Übungen (teilweise) auf.

16.12.2014, 15:31

Huggy

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Vorschlag: Den Prof. oder einen Assistenten mal auf die beiden Methoden ansprechen.

16.12.2014, 17:39

Helmi121

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Werde ich wohl machen, danke dir!

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