Totale Beschränktheit impliziert Beschränktheit

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15.12.2014, 21:00	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Totale Beschränktheit impliziert Beschränktheit Meine Frage: Hallo, Seien (X, d) ein metrischer Raum und S aus X eine Teilmenge. Ich soll zeigen, dass jede total beschränkte Menge S auch beschränkt ist. Meine Ideen: ich habe mir gedacht, dass induktiv zu zeigen. der Fall n = 1 ist klar, dann ist S in einem Ball um z mit Radius r enthalten. Der Fall n=2 besagt dann, dass S in der Vereinigung zweier Bälle (oder metrischer Kugeln) enthalten ist. Wie folgere ich dann daraus, dass S in einer Kugel vollständig enthalten ist? kann der Radius r dabei geschickt gewählt werden?? Widderchen ------------------------------------------------------------------- Das habe ich vergessen zu erwähnen. ich soll zusätzlich ein Beispiel für eine beschränkte, aber nicht total beschränkte Menge benennen. ich dachte an den metrischen Raum IR^2 = X S sei dann : S = B(x , 1/2) also der Ball um x aus dem Intervall [0,2] mit Radius 1/2. Es sei die diskrete Metrik gegeben, d.h. d(x,y) = 0 falls x =y und d(x,y) = 1 falls x ungl. y ; x,y aus S Ist das ein vernünftiges Beispiel?? Oder fehlt da irgendetwas??? Widderchen Beiträge zusammengefügt. Bitte die Editfunktion benutzen. Guppi12
15.12.2014, 22:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Beispiel passt, auch wenn du wohl die reellen Zahlen statt R^2 meintest -- ansonsten kann x kaum aus einem Intervall sein. Beschränkheit heißt $\begin{eqnarray} \sup_{y \in X} d(x,y) < \infty \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ . Nun ist die Wahl von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht wichtig (total beschränkt ist eine Aussage stark genug, um das zu rechtfertigen), sagen wir es ist $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ , d.h. ein Zenter für eine Überdeckung mit $\begin{eqnarray} \epsilon = 1. \end{eqnarray}$ Nun geht das Supremum um ggf. unendlich viele Elemente und kann dadurch unendlich werden. Wenn du zeigen kannst, dass es ausreicht nur endlich $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ zu betrachten, ist es ein Maximum, es wird angenommen und du bist beschränkt. Ich hoffe du siehst worauf ich hinaus will.
16.12.2014, 14:19	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, vielen dank für die Antwort!! Ok, dann wähle ich X = IR Ehrlich gesagt sehe ich nicht, worauf du hinaus willst. Du betrachtest also um x0 einen ball mit radius 1. Warum geht das supremum um unendlich viele elemente und kann dadurch unendlich werden??? Ich verstehe deine Andeutung nicht. Bezieht sich das eigentlich noch auf das Beispiel oder auf die zu zeigende Behauptung, dass aus totaler Beschränktheit Beschränktheit folgt? Ich weiß auch nicht, wie ich das sonst notieren soll, wenn die vollständige Induktion nicht als Beweismethode angewandt werden kann?? Grüße Widderchen
16.12.2014, 14:38	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich rede von dem allgemeinen Fall. Da es Totalkompakt ist, gibt es fuer das Epsilon eine Ueberdeckung, es gibt ein Zentrum eines Ball (ausser die Menge war vorher schon leer und es ist die leere Ueberdeckung). Jetzt willst du zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sup_{y \in X} d(x_0, y) < \infty \end{eqnarray}$ -- dann ist die Menge beschraenkt, da du um x_0 einfach einen grossen Ball legst. Also wirst du den Ausdruck irgendwie nach oben abschaetzen muessen. Soweit klar?
16.12.2014, 14:54	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie zeige ich nun, dass das supremum endlich ist?? Ich vermute mal, dass ich die dreiecksungleichung bzgl. der supremumsnorm verwenden kann, allerdings bin ich mir nicht sicher. Mir ist das nicht klar. Widderchen
16.12.2014, 14:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Was kannst du denn ueber $\begin{eqnarray} \sup_{z \in X, z \text{ ist Zentrum eines Balles der Ueberdeckung}} d(x_0, z) \end{eqnarray}$ sagen?
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16.12.2014, 15:02	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass es der größtmögliche Abstand zwischen zwei Elementen einer Menge X ist. Ansonsten fällt mir gar nichts dazu ein.
16.12.2014, 15:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie viele "Zentrumselemente" gibt es denn?
16.12.2014, 16:27	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Endlich viele, da S doch von einer endlichen Vereinigung von Bällen umschlossen wird (gemäß totaler Beschränktheit).
16.12.2014, 16:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau! Das heisst du nimmst das Maximum einer endlichen Menge. Kann das unendlich sein? Und nun fehlt nur noch die Beobachtung, dass jedes $\begin{eqnarray} y \in X \end{eqnarray}$ nahe an einem Zentrumselement liegt und du bist fertig.
16.12.2014, 16:40	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, kommt ganz darauf an, wie ich das Maximum doch selbst wähle. Aber ich denke, dieses maximum soll endlich sein aufgrund der endlichkeit der Bälle! ah, ok, jedes y liegt in der Nähe eines zentrumselementes, das heißt ich wähle den kleinstmöglichen abstand von y zu diesem Zentrumelement und wähle dann einen radius, der möglichst grßer ist als alle diese abstände insgesamt. D.h. ich wähle sowas wie max(r_i) um ein Zentrumselement x_i ; i aus 1 bis n , n ist die anzahl der Bälle, die S überdecken???
16.12.2014, 16:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und weil epsilon auf 1 gesetzt wurde, ist kein Element weiter von einem Zentrumselement als 1. Formal ist es dann einmal die Dreiecksungleichung.
16.12.2014, 19:53	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also für n=1 ist die Aussage offensichtlich. Für n = 2 habe ich gegeben, dass die Menge S durch zwei Bälle total beschränkt ist. Sei also y aus S mit Abstand kleiner oder gleich 1 zum nächsten Ballzentrum. Dann kann ich einen Radius derart wählen, .... Ich weiß nicht, wie ich das formell aufschreiben soll. Dazu fehlen mir die Kenntnisse.
16.12.2014, 20:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Da es wohl wirklich nur noch am Aufschrieb liegt. Sei z derart ein Zentrum, so dass y im Ball liegt. Dann ist $\begin{eqnarray} d(x_0, y) \leq d(x_0, z) + d(z, y) \leq \sup_{z \text{ ist Zentrum}} d(x_0, z) + 1 < \infty \end{eqnarray}$ .

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