Verschachtelte Ableitungen

15.12.2014, 23:30

SayOink

Verschachtelte Ableitungen

Meine Frage:
Folgende Ableitung galt es zu bilden:

$\begin{eqnarray*} y = 3^{x}*|ln \frac{1}{x^{2}}|*sin\sqrt{artanh\sqrt{2x}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Um ehrlich zu sein, weiß ich gar nicht, wo ich anfangen soll.
Wie leite ich hier am besten ab. Kann mir da jemand weiterhelfen? unglücklich

16.12.2014, 08:33

klarsoweit

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RE: Verschachtelte Ableitungen
Als erstes solltest du dich um den Definitionsbereich kümmern. Dann wäre noch zu untersuchen, wann $\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{x^2}) \geq 0 \end{eqnarray*}$ bzw. negativ ist, damit man die Betragsstriche los wird. Der Rest ist dann stures Anwenden der einschlägigen Ableitungsregeln. smile

16.12.2014, 09:08

Leopold

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[NB]Es sage niemand, heutzutage würden keine sinnvollen Aufgaben mehr gestellt.[/NB]

16.12.2014, 12:49

SayOink

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Also ich würde sagen, den Definitionsbereich spontan angeben als:

$\begin{eqnarray*} D := {x \in R } \end{eqnarray*}$ ohne 0.

Für meinen ln gilt
$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{x^{2}})>0 \end{eqnarray*}$ , für alle x>0^x<1
$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{x^{2}}) <0 \end{eqnarray*}$ , für alle x>1.

Aber inwiefern bringt mich das weiter voran? smile

16.12.2014, 12:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von SayOink
Also ich würde sagen, den Definitionsbereich spontan angeben als:

$\begin{eqnarray*} D := {x \in R } \end{eqnarray*}$ ohne 0.

Da wirst du aber mit Wurzel(2x) Probleme bekommen. smile

Zitat:

Original von SayOink
Für meinen ln gilt
$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{x^{2}})>0 \end{eqnarray*}$ , für alle x>0^x<1
$\begin{eqnarray*} ln(\frac{1}{x^{2}}) <0 \end{eqnarray*}$ , für alle x>1.

Aber inwiefern bringt mich das weiter voran? smile

Mit diesen Fallunterscheidungen kannst du dann den Betragsausdruck auflösen.

16.12.2014, 13:36

SayOink

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Also sind in meinem Definitionsbereich alle x>0! smile

Und nun einfach stur die Ableitungsregeln anwenden? Ich glaube, genau daran werde ich dann scheitern. Ich weiß gar nicht, wo ich anfangen soll. Beim logarithmischen Ableiten? Mit der Produktregel? Mit der Kettenregel? unglücklich

16.12.2014, 14:35

klarsoweit

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Wie ich schon (mehrfach) sagte, mußt du unterscheiden, wo der ln-Ausdruck >= 0 bzw. negativ ist. Am besten betrachtest du erstmal 0 < x < 1. Dann ist der ln-Ausdruck positiv und du kannst dann die Betragsstriche einfach weglassen.

Und ja, du brauchst eine Mehrfachanwendung von Produkt- und Kettenregel. smile

16.12.2014, 18:47

SayOink

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Also wenn ich annehme, dass ich diese Ableitung über y'=u'vw + uv'w + uvw' bilde, dann ist

$\begin{eqnarray*} u=3^{x} u'= 3^{x}*(1*ln(3)+x*\frac{0}{3} =3^{x}*ln(3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=ln\frac{1}{x^{2}} v'=\frac{1}{\frac{1}{x{2}}}*2x =2x^{3} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} w=sin\sqrt{artanh\sqrt { 2x}} w'=cos\sqrt {artanh \sqrt {2x}}*\frac{1}{1-(\sqrt{2x})^2}*\frac{1}{2\sqrt{2x}}*2 =cos\sqrt {artanh \sqrt {2x}}*\frac{1}{1-2x}*\frac{1}{\sqrt{2x}} \end{eqnarray*}$

Ist dies soweit in Ordnung?

17.12.2014, 09:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von SayOink
$\begin{eqnarray*} u'= 3^{x}*(1*ln(3)+x*\frac{0}{3} \end{eqnarray*}$

Mir ist nicht klar, was dich zu diesem Zwischenschritt bewegt. Das Endergebnis ist aber richtig.

Zitat:

Original von SayOink
$\begin{eqnarray*} v=ln\frac{1}{x^{2}} v'=\frac{1}{\frac{1}{x{2}}}*2x =2x^{3} \end{eqnarray*}$

Du hast hier die Kettenregel auf x² angewendet, aber nicht auf 1/x² .

Und bei w hast du nicht die erste Wurzel differenziert. smile

Und ich möchte nochmal betonen, daß diese Rechnung für nur 0 < x < 1 stimmt.

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