Matrix invertierbar, Diagonaleinträge

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zunder Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix invertierbar, Diagonaleinträge
Meine Frage:
Hallo, ich habe hier folgende Aufgabe: Es sei
,
.

Zu zeigen: Ist und
, so ist A invertierbar.

Meine Ideen:
Also ist hier der jeweilige Betrag der Diagonaleinträge größer als die Beträge der übrigen Elemente in derselben Zeile der Matrix und daraus folgt, dass A invertierbar ist.

Ich habe erstmal aufgeschrieben, wie ich es auffasse:



...





Wie kann ich jedoch daraus schließen, dass die Matrix invertierbar ist? Danke für die Antworten.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist denkbar einfach: Nimm dir einen Nichtnullvektor und zeige, dass er nicht im Kern liegt. Tipp: Der betragsmäßig größte Eintrag des Vektors spielt eine große Rolle.
zunder Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir nicht ganz klar.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau ist dir nicht ganz klar?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Beweise, dass der resultierende Vektor einen Eintrag ungleich 0 haben muss. Wie schon geschrieben: "Der betragsmäßig größte Eintrag des Vektors spielt eine große Rolle."
zunder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nicht verstanden, warum ich einen Vektor brauche, der nicht im Kern der Matrix liegt bzw. warum wir das beweisen müssen.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht einer sondern alle Vektoren, die von 0 verschieden sind, liegen nicht im Kern der zu A gehörigen linearen Abbildung. Also ist der Kern = 0, also ist die Abbildung injektiv. Da der Vektorraum endlichdimensional ist, ist die Abbildung folglich surjektiv, also bijektiv. Also ist die Matrix invertierbar.
zunder Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke.
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