Polynom in Maximumsnorm nicht beliebig gut approximierbar

16.12.2014, 01:48

toneesnightmare

Polynom in Maximumsnorm nicht beliebig gut approximierbar

Meine Frage:
Hallo,
hier der Aufgabentext:
Zeige Sie, dass $\begin{eqnarray*} x^3 -x \in \mathbb{C}([-2,2],\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ mit der Maximumsnorm nicht beliebig gut durch Funktionen der Form $\begin{eqnarray*} f(x) = a_0 + a_1 e^x + a_2 e^{2x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ approxmieren lassen.

Meine Ideen:
Wenn ich den Text "übersetzte" heißt dies für mich, falls ich beliebig genau approximieren könnte, dass
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \;\; \exists a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R} \;\; : \;\;||x^3 -x - f(x) ||_{max} < \epsilon \end{eqnarray*}$ .
Also schätze ich ab
$\begin{eqnarray*} \begin{split} ||x^3 -x - f(x) ||_{max} &\leq ||x^3 -x||_{max} + ||f(x)||_{max} \\ &= 6 + ||f(x)||_{max} \\ &\leq 6 + |a_0| + |a_1|e^2 + |a_2|e^4 \stackrel{!}{<} \epsilon \end{split} \end{eqnarray*}$
Nun bin ich mir mit der Argumentation unsicher.
Damit die Exponentialterme verschwinden, müssen $\begin{eqnarray*} a_1=a_2=0 \end{eqnarray*}$ sein. Dann gilt
$\begin{eqnarray*} |a_0| < \epsilon -6 \end{eqnarray*}$ , was nur für $\begin{eqnarray*} \epsilon > 6 \end{eqnarray*}$ geht, was ja nur eine "schlechte" Approximation darstellt.
Habe ich Denkfehler oder sonstige Fehler?

Gruß

16.12.2014, 09:48

IfindU

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Es ist der gleiche Fehler, den ich hier mache:
$\begin{eqnarray*} 0 = \| 0 \|_{max} = \| ( x^3 - x) - (x^3 - x) \| \leq \|(x^3 - x) \| + \|(x^3 - x) \| \leq 6 + 6 = 12 \end{eqnarray*}$ .

Damit kannst du $\begin{eqnarray*} x^3 - x \end{eqnarray*}$ nicht durch $\begin{eqnarray*} x^3 - x \end{eqnarray*}$ approximieren.

16.12.2014, 13:19

toneesnightmare

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Danke für deine Antwort.
Ok, also ist mein Ansatz grundlegend falsch. Wie sieht der richtige Ansatz grob aus?

16.12.2014, 13:22

IfindU

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Der Ansatz an sich ist nicht falsch, aber du kannst nicht etwas nach oben abschaetzen und dann argumentieren, dass deine obere Schranke zu gross gewaehlt ist.

Der Raum deiner Funktionen ist 3-dimensional (3 freie Parameter). Nun sind normierte, endlich dimensionale Raeume abgeschlossen. D.h. wenn es fuer jedes Epsilon eine Approximation gibt, dann gibt a_0, a_1 und a_2 s.d. sogar Gleichheit gilt. Nun kannst du dir 3 beliebige Funktionswerte von x^3 - x nehmen und dadurch a_0,.., a_2 eindeutig bestimmen. Dann reicht es zu zeigen, dass die Funktionen dennoch nicht uebereinstimmen.

16.12.2014, 18:24

toneesnightmare

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Vielen Dank für deine Antwort.
Ist der Gedankengang jetzt so richtig formuliert:
Also ist mein Raum der Approximationen gegeben durch die Basis $\begin{eqnarray*} 1, e^x , e^{2x} \end{eqnarray*}$ und damit 3-dimensional.
Mit der Maximumsnorm und aufgrund seiner Endlichkeit ist der Raum abgeschlossen.
Falls es also eine Funktion in diesen Raum gibt mit der ich $\begin{eqnarray*} x^3 - x \end{eqnarray*}$ annähern kann, dann kann ich sie sogar durch diese Basis genau angeben durch die $\begin{eqnarray*} a_0,a_1,a_2 \end{eqnarray*}$ .
Um diese Koeffizienten zu finden, stelle ich ein LGS durch die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^3 - x \end{eqnarray*}$ auf. Das wären $\begin{eqnarray*} x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1 \end{eqnarray*}$ .
Das führt auf
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &| & 0 \\ 1 & e & e^2 & | 0 \\ 1 & e^{-1} & e^{-2} &| &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Was nur die triviale Lösung hat und somit $\begin{eqnarray*} a_0=a_1=a_2=0 \end{eqnarray*}$ sein muss.
Was aber ziemlich schlecht ist, da damit $\begin{eqnarray*} || x^3 -x - f(x) ||_{max} = || x^3 -x||_{max} = 6 \end{eqnarray*}$

16.12.2014, 18:36

IfindU

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Sehr gut

16.12.2014, 18:56

toneesnightmare

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Ich hoffe du kannst mir noch beim zweiten Teil der Aufgabe helfen.
Aufgabentext:

Können Sie eine Schranke $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} || x^3 - x - f ||_{max} > \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle Funktionen f des obigen Typs?

Ich hätte es halb wieder mit "Übersetzten" versucht, sprich
$\begin{eqnarray*} \forall a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R} \;\; \exists \epsilon >0 \;\; : \;\; || x^3 - x -f ||_{max} > \epsilon \end{eqnarray*}$ , also für alle Koeffizienten ein Epsilon finden indem ich die Dreicksungleichung nach unten abschätze. Dies führt mich wahrscheinlich wieder nicht zu Erfolg.

Angeblich kommt als Schranke irgendwas mit $\begin{eqnarray*} 0.3 \end{eqnarray*}$ raus.
Mach mir jetzt Gedanken darüber, für Tipps bin ich dankbar.

16.12.2014, 20:09

IfindU

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Die Idee ist eine ähnliche. Diesmal wählst du aber nicht a_0, a_1 und a_2 so dass es bei den 3 Nullstellen ebenfalls eine Nullstelle hat, sondern um $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abweichen darf. Damit bekommst du keine eindeutige Lösung mehr, aber alle Tripel, s.d. es wenigstens an diesem Punkt höchstens epsilon abweicht. Dann gilt es das Epsilon so klein zu wählen, dass die Funktion an anderer Stelle (vermutlich 2 und/oder -2) stärker als der Fehler abweicht.

So wäre ich wenigstens ran gegangen. Würde mich wundern, wenn es keine deutlich schönere Lösung gibt.

16.12.2014, 21:36

toneesnightmare

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Also, dass es an den Nullstellen um $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abweicht, würde ja auf dieses LGS führen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & \epsilon \\ 1 & e & e^2 & | & \epsilon \\ 1 & e^{-1} & e^{-2} & | & \epsilon \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$
Das LGS hat die Lösung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \epsilon \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Dann gilt es das Epsilon so klein zu wählen, dass die Funktion an anderer Stelle (vermutlich 2 und/oder -2) stärker als der Fehler abweicht.

Das verstehe ich nicht ganz....
$\begin{eqnarray*} ||x^3 - x - \epsilon ||_{max} \geq | \;\; ||x^3 - x||_{max} - ||\epsilon ||_{max} \;\; | = | 6 - \epsilon| \end{eqnarray*}$

16.12.2014, 21:52

IfindU

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Du willst nicht exakt Epsilon sein. Du willst in einem Epsilonball um die 0 sein.

D.h. die erste Gleichung würde zur Ungleichung.
$\begin{eqnarray*} | a_0 + a_1 + a_2| < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Damit kann man dann ein wenig arbeiten, bloss deutlich weniger angenehm.

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