Indirekter Beweis (Kontraposition)

16.12.2014, 17:03	qwertz12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Indirekter Beweis (Kontraposition) Meine Frage: Ich habe folgende Aufgaben zu beweisen: Aufgabe 1) $\begin{eqnarray} \forall n\in \mathbb N : (n+1)^{3}\ ~ ungerade \Rightarrow n ~ gerade \end{eqnarray}$ Aufgabe 2) $\begin{eqnarray} \forall a,b\in \mathbb N : ab ~ ungerade \Rightarrow a ~ ungerade \wedge b ~ ungerade \end{eqnarray}$ Ich bin mir mit dieser Beweismethode noch nicht sicher, weshalb ich es begrüßen würde, wenn ihr mal über meine Lösung drüberschauen könntet. Meine Ideen:* Für beide aufgaben gillt: Für gerade gilt: $\begin{eqnarray} \exists b \in \mathbb N : n = 2b \end{eqnarray}$ Für ungerade gilt: $\begin{eqnarray} \exists a \in \mathbb N : n = 2a + 1 \end{eqnarray}$ Aufgabe 1) $\begin{eqnarray} \forall n\in \mathbb N : (n+1)^{3}\ ~ ungerade \Rightarrow n ~ gerade \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall n\in \mathbb N : n ~ ungerade \Rightarrow (n+1)^{3} ~ gerade \end{eqnarray}$ Also gilt: $\begin{eqnarray} (n+1)^{3} = (2b + 1)^{3} = 2b^{3} + 6b + 6b^{2} + 1 = 2(b^{3} + 3b + 3b^{2}) + 1 = 2a + 1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \in \mathbb N \end{eqnarray}$ definiert als $\begin{eqnarray} a:= b^{3} + 3b + 3b^{2} \end{eqnarray}$ . Irgentwie scheint das ja falsch zu sein den etwas gerades kann ja nicht gleich ungerade sein. Am ende müsste ich ja eigentlich auf 2a kommen undn icht 2a + 1. Oder schreibe ich statt die Gleichzeichen einfach nur Imlpikationspfeile? Also so: $\begin{eqnarray} 2(b^{3} + 3b + 3b^{2}) + 1 \Leftarrow 2a + 1 \end{eqnarray}$ _________________________________________- Aufgabe 2) $\begin{eqnarray} \forall a,b\in \mathbb N : ab ~ ungerade \Rightarrow a ~ ungerade \wedge b ~ ungerade \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall a,b\in \mathbb N : a ~ gerade \vee b ~ gerade \Rightarrow ab ~ gerade \end{eqnarray}$ Also gilt: $\begin{eqnarray} ab = 2a * 2b = 2(ab) = 2c \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c \in \mathbb N \end{eqnarray}$ definiert als $\begin{eqnarray} c := ab \end{eqnarray}$ . Folglich ist ab gerade und dies ist genau die Negation der linken Seite der zu beweisenden logischen Implikation.
16.12.2014, 19:52	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst zeigen, dass aus n ungerade folgt, dass (n+1)^3 gerade ist. Da n ungerade ist, kannst du n = (2m+1) für ein ganzes m annehmen. Damit ist $\begin{eqnarray} (n+1)^3 = ((2m+1)+1)^3 = (2m+2)^3 = (2(m+1))^3 = 8(m+1)^3,<br /> \end{eqnarray}$ was natürlich gerade sein muss. MfG

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