Integrationstheorie Doppelintegral

16.12.2014, 17:51	Pompadur	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationstheorie Doppelintegral Hallo ihr ich habe in Integrationstheorie folgende Aufgabe bekommen: $\begin{eqnarray} \text{Die Funktion } f: \mathbb{R}^2 \to \overline{ \mathbb{R} } \text{ sei gegeben durch} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x,y):= \begin{cases} \frac {xy(x^2-y^2)} {3(x^2+y^2)^3} \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \text{ und }\\0 \text{ für } (x,y) =(0,0). \end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1. \text{ Berechnen Sie } \int_{[0,2]} \left( \int_{[0,1]} f(x,y) d\lambda (y) \right) d\lambda (x). \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2. \text{ Berechnen Sie } \int_{[0,1]} \left( \int_{[0,2]} f(x,y) d\lambda (x) \right) d\lambda (y). \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3. \text{ Wiedersprechen beide obigen Ergebnisse mit dem Satz von Fubini?} \end{eqnarray}$ Erst einmal meine Gedankengänge: Die Integrale sind ja auf dem eindimensionalen Raum, d.h. ich kann das Lebesgue-Integral berechnen, indem ich es mit dem Riemann-Integral vertausche. Dazu muss ich zeigen, dass das Riemann-Integral überhaupt existiert, also muss ich nachschauen, ob die Funktion stetig ist? Heißt das ich muss z.B. in Aufgabe 1 bei dem Integral in der Klammer mit Integrationsvariable y das x in der Funktion festhalten und "schauen", ob die Funktion für alle y $\begin{eqnarray} ( 0 \leq y \leq 1) \end{eqnarray}$ stetig ist? Naja und daraufhin Integriert man insofern, dass man z.B. in Aufgabe 1 die Funktion in der Klammer nach y integriert? Hat da jemand einen Tipp für mich? Ich bin bereits schwach geworden und habe nachgeschlagen, dass das Integral von $\begin{eqnarray} \int_{[0,1]}\frac {xy(x^2-y^2)} {3(x^2+y^2)^3} d \lambda (y) = \left. - \frac {y^2x}{6(y^2-x^2)^2} \right\|_0^1 = - \frac {x} {6(x^2+1)^2} \end{eqnarray}$ ist. Aber egal wie ich es angehe, ich komme nicht darauf, wie man diese Lösung erhalten kann. Umformen, Substitutionsregel und partielle Integration führen bei mir ins Leere und ich möchte auch nicht einfach sagen, dass $\begin{eqnarray} - \frac {y^2x}{6(y^2-x^2)^2} \end{eqnarray}$ vom Himmel gefallen ist und mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zeigen, dass das das gesuchte Integral ist. Ich bin dankbar für jeden Hinweis
16.12.2014, 17:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationstheorie Doppelintegral Es gilt $\begin{eqnarray} \frac {xy(x^2-y^2)} {3(x^2+y^2)^3} = \frac {xy(x^2+y^2)} {3(x^2+y^2)^3} - 2 y^2 \cdot \frac{ xy } {3(x^2 + y^2)^3} \end{eqnarray}$ . Es reicht den zweiten Summanden partiell zu integrieren. Dann kann man beide per Substitution loesen.
17.12.2014, 13:05	Pompadur	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow cool, vielen Dank Also ich habe jetzt: $\begin{eqnarray} <br /> \int_0^1 \frac {xy(x^2-y^2}{3(x^2+y^2)^3} d\lambda (y)=\int_0^1 \frac {xy(x^2+y^2)}{3(x^2+y^2)^3} d\lambda (y) - \int_0^1 2y^2 \frac {xy} {3(x^2+y^2)^3} d\lambda (y)<br /> = \int_0^1 \frac {xy}{3(x^2+y^2)^2} d\lambda (y) - \int_0^1 2y^2 \frac {xy} {3(x^2+y^2)^3} d\lambda (y)<br /> =\int_0^1 \frac {xy}{3(x^2+y^2)^2} dy - \int_0^1 2y^2 \frac {xy} {3(x^2+y^2)^3} dy \text{ } ()<br /> \end{eqnarray}$ () Weil beide Funktionen auf dem Inneren von [0,1] stetig sind und das Riemann-Integral somit existiert und damit mit dem Lebesgue-Integral übereinstimmt. Kann man das so begründen? Braucht es eine andere Begründung? Beim zweiten Integral setzte ich: $\begin{eqnarray} <br /> h(y)=2y^2 \text{ und } g'(y)= \frac {xy}{3(x^2+y^2)^3}<br /> \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} <br /> \int g'(y) dy = \frac {1}{6}x \int \frac {2y}{(x^2+y^2)^3} dy=\frac {1}{6}x \left( \frac{1}{-2(x^2+y^2)^2} \right)= \frac {x}{-12(x^2+y^2)^2}<br /> \end{eqnarray}$ und nun kann man das zweite Integral partiell integrieren und man erhält die Lösung: $\begin{eqnarray} <br /> \int_0^1 \frac {xy}{3(x^2+y^2)^2} dy - \int_0^1 2y^2 \frac {xy} {3(x^2+y^2)^3} dy<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> =\int_0^1 \frac {xy}{3(x^2+y^2)^2} dy - \left( \left( \left. 2y^2 \frac {x}{-12(x^2+y^2)^2 } \right\|_0^1 \right) - \int_0^1 4y \frac {x} {-12(x^2+y^2)^2} dy \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> =\int_0^1 \frac {xy}{3(x^2+y^2)^2} dy - \left( \left. 2y^2 \frac {x}{-12(x^2+y^2)^2 } \right\|_0^1 \right) - \int_0^1 \frac {xy} {3(x^2+y^2)^2} dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> = - \left( \left. 2y^2 \frac {x}{-12(x^2+y^2)^2 } \right\|_0^1 \right)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> = \frac {x}{6(x^2+1}<br /> \end{eqnarray}$ War ja eigentlich ganz einfach, vielen Dank! ^^ Ich habe aber noch eine Frage zur Notation, bzw. richtigen Formulierung: Die Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ stimmt ja nur mit $\begin{eqnarray} \frac {xy(x^2-y^2)}{3(x^2+y^2)^3} \end{eqnarray}$ überein, solange $\begin{eqnarray} (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray}$ ist. Braucht es da noch eine Begründung oder muss ich da noch etwas ändern, wenn ich $\begin{eqnarray} \int_0^1 f(x,y) d\lambda (y) = \int_0^1 \frac{xy(x^2-y^2)}{3(x^2+y^2)^3} d\lambda (y) \end{eqnarray}$ setze? Z.B., dass $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ sei? Oder brauche ich vielleicht, dass das Integral in diesem einem Punkt sowieso gleich 0 wäre? Oder soll/kann ich mit $\begin{eqnarray} \lim\limits_{a \rightarrow 0} \int_a^1 f(x,y) d\lambda (y) = \lim\limits_{a \rightarrow 0} \int_a^1 \frac{xy(x^2-y^2)}{3(x^2+y^2)^3} d\lambda (y) \end{eqnarray}$ rechnen? Ich bin dankbar für jede Hilfe!
17.12.2014, 13:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön. Für x != 0 kommst du ja nie in den Fall rein. Und falls x = 0 muss auch noch y = 0 sein. Da aber {0} eine Nullmenge ist hängt das Integral also nicht davon ab. Und eine Funktion ist Riemann--integrierbar genau dann, wenn die Funktion fast überall stetig ist. Daher spielt die 0 auch da keine Rolle. Wenn du zum ersten Mal mit den Integralen hantierst, schadet eine Bemerkung sicher nicht, aber das ist sehr klar.
17.12.2014, 13:38	Pompadur	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Ich hab zumindest zum ersten Mal mit Lebesgue-Integralen zu tun, also schreibe ich es besser hin

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »