Rang einer Matrix in Abhängigkeit von Parametern

16.12.2014, 20:41

legendany

Rang einer Matrix in Abhängigkeit von Parametern

Meine Frage:
Ich soll den Rang dieser Matrix bestimmen:

\begin{pmatrix} 0 & r & 0 & 0 \\ r & 0 & s & 0 \\ 0 & s & 0 & t \\ 0 & 0 & t & 0 \end{pmatrix}

Irgendwie bekomme ich es nicht hin diese Matrix auf Stufenform zu bringen. Oder ist das gar nicht nötig und ich muss nur Fälle unterscheiden?

Meine Ideen:
Für r=s=t=0 hab ich gedacht ist der Rang 1. Sonst fällt mir nichts ein. Wenn ich die Matrix transponiere, erhalte ich ja die selbe.

16.12.2014, 21:01

Dopap

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RE: Rang einer Matrix in Abhängigkeit von Parametern

Zitat:

Original von legendany
Meine Frage:
Ich soll den Rang dieser Matrix bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & r & 0 & 0 \\ r & 0 & s & 0 \\ 0 & s & 0 & t \\ 0 & 0 & t & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Irgendwie bekomme ich es nicht hin diese Matrix auf Stufenform zu bringen. Oder ist das gar nicht nötig und ich muss nur Fälle unterscheiden?

Meine Ideen:
Für r=s=t=0 hab ich gedacht ist der Rang 1. Sonst fällt mir nichts ein. Wenn ich die Matrix transponiere, erhalte ich ja die selbe.

so ist es besser zu lesen.

16.12.2014, 21:49

Huy

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Mit Gauss erhält man:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & r & 0 & 0 \\ r & 0 & s & 0 \\ 0 & s & 0 & t \\ 0 & 0 & t & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} r & 0 & s & 0 \\ 0 & s & 0 & t \\ 0 & r & 0 & 0 \\0 & 0 & t & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Angenommen r != 0. Dann kann die dritte Zeile durch r geteilt werden und wir erhalten

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r & 0 & s & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & t & 0\\ 0 & 0 & 0 & t \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Relevant sind die Fälle t = 0 und t != 0. Zuletzt prüft man, was passiert, wenn r = 0 ist.

MfG

16.12.2014, 21:50

legendany

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Für r=s=t=0 ist der Rang natürlich 0 und nicht 1.

16.12.2014, 21:57

legendany

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Zitat:

Original von Huy
Mit Gauss erhält man:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & r & 0 & 0 \\ r & 0 & s & 0 \\ 0 & s & 0 & t \\ 0 & 0 & t & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} r & 0 & s & 0 \\ 0 & s & 0 & t \\ 0 & r & 0 & 0 \\0 & 0 & t & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Angenommen r != 0. Dann kann die dritte Zeile durch r geteilt werden und wir erhalten

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r & 0 & s & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & t & 0\\ 0 & 0 & 0 & t \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Relevant sind die Fälle t = 0 und t != 0. Zuletzt prüft man, was passiert, wenn r = 0 ist.

MfG

Wie kommst du auf die letzte Matrix? Speziell die letzten beiden Zeilen.

16.12.2014, 22:03

Dopap

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r ! ist bei mir r Fakultät.

bitte: $\begin{eqnarray*} r \neq 0 \end{eqnarray*}$