Extremwertaufgabe "Mann vor dem Ertrinken"

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16.12.2014, 21:54	matheLehrling13	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe "Mann vor dem Ertrinken" Meine Frage: Ich versuche folgendes Beispiel zu lösen: Mitch und Pamela stehen am Strand, und wollen einen Mann vor dem Ertrinken retten. Dieser befindet sich, vom Standpunkt der beiden aus gesehen, 110m parallel und 60m normal zum Ufer im Meer. Pamela versucht in so kurzer Zeit wie möglich beim Ertrinkenden zu sein, und läuft dazu mit einer Geschwindigkeit von 4m/s am Strand entlang. Nach wie vielen Metern muss sie ins Meer abbiegen, wenn sie beim Schwimmen eine Geschwindigkeit von 1,4m/s erreicht? Mitch versucht währenddessen auf direktem Wege mit einer Geschwindigkeit von 1,8m/s zu schwimmen. Welcher der beiden ist schneller beim Opfer, und wie lange brauchen sie jeweils? Meine Ideen: Meine Hauptbedingung wäre: $\begin{eqnarray} t=\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=\frac{s_{1}}{4} + \frac{s_{2}}{1,4} \end{eqnarray}$ jdoch bin ich mir nicht sicher ob das stimmt. Die Nebenbedingung müsste was mit Pythagoras sein, aber wie genau sieht diese aus? Bis ich diese Rechnung gelöst habe ist der Mann garantiert ertrunken. ;-)
16.12.2014, 22:03	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe "Mann vor dem Ertrinken" Du brauchst den Pythagoras für eine der Strecken. Habe ich die Längen richtig verstanden? [attach]36486[/attach] edit: Grafik korrigiert.
16.12.2014, 22:06	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
Bezeichne die Strecke, die Pamela am Strand entlang läuft mit x. Dann ist die Strecke, die sie schwimmt mit Pythagoras $\begin{eqnarray} \sqrt{60^2 + (110-x)^2} \end{eqnarray}$ . Aus der Physik ist bekannt, dass $\begin{eqnarray} v = \frac{s}{t} \end{eqnarray}$ oder äquivalent $\begin{eqnarray} t = \frac{s}{v} \end{eqnarray}$ . Somit beträgt die Zeit, die Pamela bis zum ertrinkenden Mann benötigt, $\begin{eqnarray} t(x) = \frac{x}{4}+\frac{\sqrt{60^2+(110-x)^2}}{1.4}. \end{eqnarray}$ Um das Minimum für t zu finden, musst du diese Funktion nach x ableiten und gleich 0 setzen. MfG
16.12.2014, 22:10	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
@Huy Auf den Pythagoras-Term hätte der Fragesteller ruhig selber kommen können.
16.12.2014, 22:11	Huy	Auf diesen Beitrag antworten »
@sulo: Sorry, in einem anderen Thread wurde mir gesagt, ich solle bei meinen Erklärungen mehr ins Detail gehen. MfG
16.12.2014, 22:15	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, die Kritik an deinem Postverhalten dort kann ich nicht wirklich nachvollziehen, allerdings fehlt auch der Ausgangspost, was übrigens für den Fragsteller Konsequenzen haben wird.
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17.12.2014, 17:51	matheLehrling13	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist es sehr recht wenn hier jemand etwas mehr ins Detail geht, denn wenn ich selbst auf die Lösung kommen könnte, dann würde ich hier nicht um Hilfe bitten. Mir geht es nicht darum ein komplett durchgerechnetes Beispiel abzuschreiben, sondern ich will die einzelnen Rechenschritte verstehen. Ich habe jetzt folgende Lösung heraus bekommen: Mitch muss 125,29m schwimmen und braucht dafür 69,61s. Pamela läuft 87,6m und schwimmt dann 64,04m und braucht dafür 67,64s. Kann diese Lösung bitte jemand überprüfen? Vielen Dank im Voraus.
17.12.2014, 22:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Weg von Mitch stimmt, die Zeit jedoch nicht. Die Wege und die Zeiten von Pamela sind richtig! Pamela hat zwar den längeren Weg, ist aber früher am Unfallort. _____________________________ Wie so oft im Leben, allen Recht getan, ist eine Kunst, die niemand kann. Einerseits verstehe ich sulo, es sollen möglichst viele Erkenntnisse vom Fragenden selbst kommen, dazu gehört normalerweise auch der Pythagoras, andererseits gehört diese Aufgabe zu den nicht ganz leichten und eher rechenintensiven. Essentiell ist hier die Extremwertbestimmung, nicht so sehr der Pythagoras, sodass dieser Hilfeansatz von Huy weiterführend war. Vielleicht hätte man noch einen Beitragswechsel abwarten können, ob der Fragesteller von selbst daraufkommt, um erst bei nicht Weiterkommen nachzuhaken. Wie weit man mit der Hilfe gehen soll, entscheidet oftmals das Fingerspitzengefühl für die Problemlage. Bei dem von Huy angesprochenen anderen Thread war es für mich evident, dass sich der Fragesteller mit den gegebenen Informationen unzureichend versorgt gesehen hatte, das hat er ja auch geschrieben. Ehrlich gesagt, wenn ich einen Satz wie diesen lese: " ... Kannst du mir sagen wie ich auf den letzten Term komme? Das habe ich nun immer noch nicht verstanden bis auf meinen letzten Post, da das meine einzige Idee dazu ist. ..", ist für mich auf jeden Fall weiterer Handlungsbedarf gegeben. Wenn ihr beide, sulo und Huy, meine Kritik nicht nachvollziehen könnt, bedauere ich das zwar, aber das ist meine - wenn auch subjektive - Meinung. mY+
17.12.2014, 22:19	matheLehrling13	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort! Wie komme ich auf die richtige Zeit von Mitch? Also ich hab so gerechnet: $\begin{eqnarray} t=\frac{s}{v} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=\frac{125,29}{1,8} = 69,61 \end{eqnarray}$
17.12.2014, 22:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich hab nicht gesehen, dass der Mitch schneller schwimmt als die Pam, deswegen hatte ich ebenfalls mit 1,4 m/s gerechnet. Bei 1,8 m/s stimmt natürlich deine Zeit ebenfalls! mY+
17.12.2014, 22:55	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
OT? Übrigens entspricht das Extremwertproblem mathematisch 1 : 1 der Brechung eines Lichtstrahls an der geradlinigen Grenze zwischen zwei Medien mit verschiedenen Brechungsindizes n respektive Lichtgeschwindigkeiten c (nach Snellius, $\begin{align} \alpha \end{align}$ gegen die Normale): $\begin{align} n_1 \sin \alpha_1=n_2 \sin \alpha_2,~ c_2\sin \alpha_1=c_1 \sin \alpha_2 \end{align}$ , wobei hier sogar der Sonderfall einer Totalreflexion vorliegt $\begin{align} \alpha_1=90^{\circ},~\sin \alpha_2=\frac{c_2}{c_1} \end{align}$ .
17.12.2014, 23:54	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Kenntnis des Snellius'schen Brechungsgesetzes erspart die Extremwertberechnung bzw. nimmt diese vorweg. Denn dieses Gesetz ist ja gerade mittels Extremwertberechnung bereits nachgewiesen worden. Somit kann der Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ im rechtwinkeligen Dreieck berechnet werden: $\begin{eqnarray} \frac{\sin \alpha} 1 = \frac{1,4} 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha = \arcsin(0,35) = 69,5° \end{eqnarray}$ Die Strecke u am Land, die von 110 m zu subtrahieren ist, rechnet sich dann mit $\begin{eqnarray} u = \frac{60}{\tan 69,5°} = 22,5 m \end{eqnarray}$ Pamela muss also nach 87,6 m an Land ins Wasser "abzweigen". OMG, that rulez! mY+

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