|x| < epsilon => -epsilon < x < epsilon

16.12.2014, 22:22

FranzOS42

|x| < epsilon => -epsilon < x < epsilon

Meine Frage:
Hallo am alle,

wir sollen folgendes Beweisen
$\begin{eqnarray*} \varepsilon \in \mathbb{R} > 0 ~ \Rightarrow |x| < \varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon < x < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Definiert haben wir die Betragsfunktion folgendermaßen
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}} = |x| \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Ansatz war folgender:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}} = |x| \wedge |x| < \varepsilon \Rightarrow x < \varepsilon \end{eqnarray*}$
Da sich die 2-te Wurzel und das Quadrat aufheben.

Die andere Richtung also $\begin{eqnarray*} -\varepsilon < x \end{eqnarray*}$ hätte ich jetzt so argumentiert, die Wurzelfunktion ist ja immer posstiv also $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}} \geq 0 \end{eqnarray*}$ da aber schon galt $\begin{eqnarray*} x < \varepsilon \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \varepsilon > x > 0 \end{eqnarray*}$ automatisch gelten und somit folgt $\begin{eqnarray*} -\varepsilon < 0 < x \end{eqnarray*}$

Die Frage ist der Beweis so richtig ?

17.12.2014, 08:48

klarsoweit

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RE: |x| < epsilon => -epsilon < x < epsilon
Dein Beweis steht insgesamt auf wackeligen Füßen.

Zitat:

Original von FranzOS42
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}} = |x| \wedge |x| < \varepsilon \Rightarrow x < \varepsilon \end{eqnarray*}$
Da sich die 2-te Wurzel und das Quadrat aufheben.

Hier wird nicht wirklich klar, warum aus $\begin{eqnarray*} |x| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x < \varepsilon \end{eqnarray*}$ folgen sollte.

Zitat:

Original von FranzOS42
da aber schon galt $\begin{eqnarray*} x < \varepsilon \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \varepsilon > x > 0 \end{eqnarray*}$ automatisch gelten

Wieso sollte x > 0 sein? verwirrt

Ich würde den Beweis so aufsetzen:
Sei $\begin{eqnarray*} |x| = \sqrt{x^2} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ . Da die Quadratfunktion für positive Argumente monoton steigt, gilt: $\begin{eqnarray*} (\sqrt{x^2})^2 = x^2 < \varepsilon^2 \end{eqnarray*}$ . Es ist also $\begin{eqnarray*} x^2 - \varepsilon^2 < 0 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt noch die 3. binomische Formel anwenden und Fallunterscheidungen durchführen und fertig.

17.12.2014, 22:14

FranzOS42

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Zitat:

Wieso sollte x > 0 sein? verwirrt Ich würde den Beweis so aufsetzen: Sei $\begin{eqnarray*} |x| = \sqrt{x^2} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ . Da die Quadratfunktion für positive Argumente monoton steigt, gilt: $\begin{eqnarray*} (\sqrt{x^2})^2 = x^2 < \varepsilon^2 \end{eqnarray*}$ . Es ist also $\begin{eqnarray*} x^2 - \varepsilon^2 < 0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt noch die 3. binomische Formel anwenden und Fallunterscheidungen durchführen und fertig.

Stimmt dass ist wohl wesentlich eleganter...

Also müsste es am schlus wuasi so aussehen ?

$\begin{eqnarray*} x^2 - \varepsilon^2 &= (x- \varepsilon) ~ (x + \varepsilon) \end{eqnarray*}$

Wir wissen $\begin{eqnarray*} x^{2} - \varepsilon^2 < 0 \Rightarrow x - \varepsilon < 0 ~ \wedge \varepsilon + x > 0 \text{ da } \varepsilon > x \wedge \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$

Wir geht dass jetzt mir der Fallunterscheidung weiter ? Tue mich da irgendwie schwer ...

18.12.2014, 09:04

klarsoweit

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Aus $\begin{eqnarray*} (x - \varepsilon) \cdot (x + \varepsilon) < 0 \end{eqnarray*}$ ergeben sich 2 Fälle:

1.: $\begin{eqnarray*} x - \varepsilon < 0 ~ \wedge x + \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$

2.: $\begin{eqnarray*} x - \varepsilon > 0 ~ \wedge x + \varepsilon < 0 \end{eqnarray*}$

(Die angehängte Begründung $\begin{eqnarray*} \text{ da } \varepsilon > x \wedge \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ kannst du weglassen und hat obendrein auch keine echte Substanz, oder ich habe nicht verstanden, was du damit sagen wolltest.)

Aus Fall 1 folgt sofort die Behauptung. Fall 2 ist obsolet, da sich die Ungleichungen $\begin{eqnarray*} x > \varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x < -\varepsilon \end{eqnarray*}$ wegen epsilon > 0 widersprechen. (x müßte gleichzeitig positiv und negativ sein.)

Beachte, daß du noch die Implikation $\begin{eqnarray*} -\varepsilon < x < \varepsilon \Rightarrow |x| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ zeigen mußt.

19.12.2014, 00:09

FranzOS42

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Ok schonmal vielen Dank so weit ich tue mich schwer mit Beweise...

Da es sich ja um eine genau dann wenn Beziehung handelt müssen beode Seiten gezeigt werden und gezeigt wurde bist nur $\begin{eqnarray*} |x| \Rightarrow -\varepsilon < x < \varepsilon \end{eqnarray*}$ also bleibt noch $\begin{eqnarray*} |x| \Leftarrow -\varepsilon < x < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Meine Idee

$\begin{eqnarray*} -\varepsilon < x < \varepsilon ~\wedge \varepsilon > 0 \Rightarrow x \geq 0 \end{eqnarray*}$

Nun Betrachte ich folgenden Teiltherm (*):
$\begin{eqnarray*} x < \varepsilon ~ | ()^2 \\ x^2 < \varepsilon^2 | \sqrt{} \\ \sqrt{x^{2}} < \sqrt{\varepsilon^2} \\ |x| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt Betrachte ich den nächsten Teiltherm (**):
$\begin{eqnarray*} -\varepsilon < x ~ | ()^2 \\ -(\varepsilon)^2 < x^2| \sqrt{} \\ \sqrt{-\varepsilon^2} < \sqrt{x^{2}} \\ \varepsilon < |x| \end{eqnarray*}$

Aber die zweite Aussage steht imt Widerspruch zu ersten ?Was soll ich da jetzt machen ? Ich kann ja nicht einfach annehmen dass die erste Stimmt da ich eben dies Zeigen will. Oder kann ich dies so argumentieren da ja $\begin{eqnarray*} \varepsilon>x> -\varepsilon \end{eqnarray*}$ vorgegeben war und $\begin{eqnarray*} |x|=\sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ ist und dieser Therm immer postiv ist kann ich den zweiten Therm (**) als Falsch identifiezieren und somit folgt $\begin{eqnarray*} |x| < \varepsilon ~ \Leftrightarrow -\varepsilon < x < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Edit von Guppi12: Latex korrigiert, bitte Vorschaufunktion benutzen.

19.12.2014, 09:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von FranzOS42
Da es sich ja um eine genau dann wenn Beziehung handelt müssen beode Seiten gezeigt werden und gezeigt wurde bist nur $\begin{eqnarray*} |x| \Rightarrow -\varepsilon < x < \varepsilon \end{eqnarray*}$ also bleibt noch $\begin{eqnarray*} |x| \Leftarrow -\varepsilon < x < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Du meinst $\begin{eqnarray*} |x| < \varepsilon \Rightarrow -\varepsilon < x < \varepsilon \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} |x| < \varepsilon \Leftarrow -\varepsilon < x < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von FranzOS42
Meine Idee

$\begin{eqnarray*} -\varepsilon < x < \varepsilon ~\wedge \varepsilon > 0 \Rightarrow x \geq 0 \end{eqnarray*}$

Die Idee ist ja ganz nett, aber sofort zum Scheitern verurteilt, weil eben nicht gefolgert werden kann, daß x >= 0 ist. x kann durchaus auch negativ sein, was ja auch leicht mit Beispielen belegt werden kann.

Zitat:

Original von FranzOS42
Jetzt Betrachte ich den nächsten Teiltherm (**):
$\begin{eqnarray*} -\varepsilon < x ~ | ()^2 \\ -(\varepsilon)^2 < x^2| \sqrt{} \\ \sqrt{-\varepsilon^2} < \sqrt{x^{2}} \\ \varepsilon < |x| \end{eqnarray*}$

In dieser Rechnung sind wenigstens 4 Fehler. Erstmal mußt du beim Quadrieren alles quadrieren. Also beim Quadrieren von $\begin{eqnarray*} -\varepsilon \end{eqnarray*}$ entsteht $\begin{eqnarray*} (-\varepsilon)^2 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} -(\varepsilon)^2 \end{eqnarray*}$ .
Zweitens bleibt beim Quadrieren die Richtung des Ungleichheitszeichens nur erhalten, wenn beide Seiten positiv sind. Das ist schon mal wegen $\begin{eqnarray*} -\varepsilon < 0 \end{eqnarray*}$ nicht der Fall.
Drittens sollte dir auffallen, daß du bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{-\varepsilon^2} \end{eqnarray*}$ einen negativen Radikanden hast, wodurch der ganze Ausdruck undefiniert ist.
Und viertens kann nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{-\varepsilon^2} = \varepsilon \end{eqnarray*}$ sein, denn dann müßte $\begin{eqnarray*} \varepsilon^2 = -\varepsilon^2 \end{eqnarray*}$ sein.

Am besten betrachtest du bei dem Beweis 2 Fälle:
1. Fall: 0 <= x. Dann ist also $\begin{eqnarray*} 0 \leq x < \varepsilon \end{eqnarray*}$ und du kannst gefahrlos Quadrieren und auch wieder die Wurzel ziehen (siehe den 1. Teil deines Beweises).

2. Fall: x < 0: Dann ist also $\begin{eqnarray*} -\varepsilon < x < 0 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} 0 < -x < \varepsilon \end{eqnarray*}$ und du kannst wieder gefahrlos Quadrieren und auch wieder die Wurzel ziehen.

Übrigens schreibt man "Term" und nicht "Therm". smile

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