Konjunktionen in Boolschen Algebren

16.12.2014, 22:50	l3loodHunter	Auf diesen Beitrag antworten »
Konjunktionen in Boolschen Algebren Hallo Leute, ich hatte schonmal einen Beitrag erstellt, indem ich fragte, ob die Zeichen $\begin{eqnarray} \cup \cap \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vee \wedge \end{eqnarray}$ ähnlich zu verstehen sind. Mir ist bewusst, dass $\begin{eqnarray} \cup \cap \end{eqnarray}$ als Mengenoperationen und $\begin{eqnarray} \vee \wedge \end{eqnarray}$ als logische Operationen zu verstehen sind. In einer Boolschen Algebra gibt es jedoch wieder neue Zeichen, welche wieder im Pinzip das gleiche machen (und / oder). $\begin{eqnarray} \sqcap \sqcup \end{eqnarray}$ Uns wurde in der Vorlesung aber nur gesagt, dass man sie so benutzen kann, weil sie in den fünf Axiomen so bewiesen worden sind. Würdet ihr also sagen, dass es Sinn machen würde sich die zwei zuletzt genannten Zeichen wie oben beschrieben zu merken? Was könnten diese Zeichen denn sonst bedeuten? Etwas mathematischer $\begin{eqnarray} \vee, \wedge = \sqcap, \sqcup \end{eqnarray}$ Danke im Voraus. Viele Grüße Hunter
17.12.2014, 09:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Axiome beweist man nicht, Axiome sind wahre Voraussetzungen, die das Verhalten von Operanden und Operatoren festlegen. Der Teilmengenverband einer Menge mit den Operatoren $\begin{eqnarray} \cup,\cap \end{eqnarray}$ und logische Aussagen mit den Operatoren $\begin{eqnarray} \vee,\wedge \end{eqnarray}$ sind Beispiele für Boolesche Algebren. $\begin{eqnarray} \vee,\wedge=\sqcap,\sqcup \end{eqnarray}$ ist falsch. Richtig ist, dass Boolesche Algebren isomorph, d.h. verhaltensgleich sind, also z.B. $\begin{eqnarray} (B,\sqcup,\sqcap) \cong (P(M),\cup,\cap) \cong(A,\vee,\wedge) \end{eqnarray}$ . Nach dem Dualitätssatz gilt z.B. $\begin{eqnarray} (A,\vee,\wedge)\cong (A,\wedge,\vee) \end{eqnarray}$ . Daran siehst du, dass die Operatoren etwas ganz anderes bedeuten können. Es gibt unendlich viele verschiedene algebraische Strukturen, deren Teilstrukturen Boolesche Verbände sind. Man muss sich nicht unendlich viel merken (was der Mensch nicht kann), man muss sich nur merken, wie ein Boolescher Verband funktioniert.
17.12.2014, 14:41	l3loodHunter	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heisst, dass man nur verstehen kann wie die Operanden funktionieren indem man die Axiome der algebraischen Struktur durchließt? Die Axiome sind dann also sowas wie ein Regelwerk hmm? Kann ich jetzt eine Huntersche Algebra erstellen in dem ich einfach mal irgendwelche Regeln erfinde oder? Jedenfalls danke ich für die super Erklärung. Viele Grüße Hunter
17.12.2014, 18:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast genau so ist es, allerdings funktionieren die Operatoren auf den Operanden. Zum Beispiel ist die Addition, eine Operation auf natürlichen Zahlen als Operanden, eine Funktion $\begin{eqnarray} + : \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N, (n,m) \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} + (n,m) : = n+m \end{eqnarray}$ . Mit der Hunterschen Algebra wirst du berühmt, wenn sie neu ist und in der Mathematik oder in der wirklichen Welt etwas Sinnvolles tut.

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