Zerlegung einer Zahl n --> Wie viele Möglichkeiten gibt es?

17.12.2014, 15:28

Ibn Batuta

Zerlegung einer Zahl n --> Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Moin,

nach langer Abwesenheit melde ich mich auch mal wieder und hätte eine Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ zu zerlegen unter folgenden Voraussetzungen:

1. $\begin{eqnarray*} a+b+c = n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b,c\in\mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} a\ge b \ge c \end{eqnarray*}$

Gibt es da vielleicht eine geschlossene Formel? Ich habe mir die verschiedenen Möglichkeiten aufgeschrieben, finde aber nichts bisher. :-/

Ibn Batuta

17.12.2014, 17:35

Ibn Batuta

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Man kann es offensichtlich als diophantische Reihe darstellen.

http://i.imgur.com/kd4BoJ1.png

Mir ist nur noch nicht klar, wie die Reihe / Funktion mit der Anzahl an Lösungen zusammenhängt. (Ich sehe da nämlich einen Bruch für $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ ). Kann mich jemand aufklären?

Ibn Batuta

17.12.2014, 18:26

ollie3

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hallo,
am besten du liest dir mal den wikipedia-artikel über erzeugende funktionen
durch. F(X) selbst gibt natürlich nicht die gesuchte anzahl wieder, das ist
nur ein technisches mittel, um durch koeffizientvergleich die wirklich gesuchte
anzahlfuntioen f(x), die in den koeffizienten der reihenentwicklung von F(X)
eingebaut ist, zu ermitteln.
gruss ollie3

17.12.2014, 20:06

Guppi12

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Ich habe Mathematica mal mit deiner erzeugenden Funktion gespeist. Heraus kam

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{72}\left(47+9(-1)^n+16\cos\left(\frac{2}{3}n\pi\right)+36n+6n^2\right) \end{eqnarray*}$

Die ersten Werte sind 1,2,3,4,5,7,10,12,...

Scheint zu stimmen.

18.12.2014, 00:56

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Guppi12
Ich habe Mathematica mal mit deiner erzeugenden Funktion gespeist. Heraus kam

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{72}\left(47+9(-1)^n+16\cos\left(\frac{2}{3}n\pi\right)+36n+6n^2\right) \end{eqnarray*}$

Die ersten Werte sind 1,2,3,4,5,7,10,12,...

Scheint zu stimmen.

Super, vielen Dank schon mal! Aber: Was ist das für ein Ausdruck denn und wie hast du denn generiert? Big Laugh

Ibn Batuta

18.12.2014, 01:19

Guppi12

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Zitat:

Was ist das für ein Ausdruck

Naja, die Antwort hierauf:

Zitat:

wie viele Möglichkeiten es gibt $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ zu zerlegen unter folgenden Voraussetzungen:

1. $\begin{eqnarray*} a+b+c = n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b,c\in\mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} a\ge b \ge c \end{eqnarray*}$

Gibt es da vielleicht eine geschlossene Formel?

Zitat:

wie hast du denn generiert?

Ich habe Mathematica gefragt, wie die Folge zu der erzeugenden Funktion aussieht, die man sich entweder überlegt, oder deinem Link entnehmen kann.

Man stellt sich also die Frage, für welche Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty a_n x^k = \frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)} \end{eqnarray*}$ .

Das kann man selbst ausrechnen, ist aber eine langwierige Sache. Deswegen habe ich Mathematica gefragt, was herauskommt und das war der obige Ausdruck.

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