Äquivalenz von Konvergenz

18.12.2014, 14:33

Cyvasse

Äquivalenz von Konvergenz

Hi allerseits.

Die Aufgabe ist folgende:

Sein $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge. Beweisen Sie die folgende Aussage:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty 2^k a_{2^k} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Meine Ideen

Ich würde gerne mittels Quotientenkriterium jeweils zeigen, dass die Konvergenz der einen Summe die Konvergenz der anderen impliziert.

Für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty 2^k a_{2^k} \Rightarrow \sum_{k=0}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ hab ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \vert \frac {2^{k+1} a_{2^{k+1}}}{2^k a_{2^k}} \vert < 1 \Leftrightarrow \vert \frac {2 a_{2^{k+1}}}{a_{2^k}} \vert < 1 \Rightarrow \vert \frac {a_{2^{k+1}}}{a_{2^k}} \vert < 1 \Rightarrow \vert \frac {a_{k+1}}{a_{k}} \vert < 1 \end{eqnarray*}$

Hier weiß ich allerdings nicht ob ich den letzten Schritt einfach so machen darf...

Und für die Implikation in die andere Richtung hab ich keine richtige Idee, weil ich bei der Umformung ja irgendwie den Zähler größer machen muss und nicht weiß, wie ich da argumentieren kann, dass es trotzdem <1 bleibt verwirrt

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

18.12.2014, 14:49

Matt Eagle

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RE: Äquivalenz von Konvergenz
Deine Unsicherheit ist begründet, denn deine Folgerung ist nicht schlüssig.

Mit dem Stichwort 'Verdichtungskriterium' kannst du dich z.B. bei Wikipedia inspirieren lassen.

18.12.2014, 14:59

klarsoweit

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RE: Äquivalenz von Konvergenz

Zitat:

Original von Cyvasse
$\begin{eqnarray*} \vert \frac {a_{2^{k+1}}}{a_{2^k}} \vert < 1 \Rightarrow \vert \frac {a_{k+1}}{a_{k}} \vert < 1 \end{eqnarray*}$

Hier weiß ich allerdings nicht ob ich den letzten Schritt einfach so machen darf...

In der Tat sehe ich keine Begründung, die diese Folgerung untermauert. Bei dem linken Ausdruck wird ja nur eine Teilmenge aller Folgenglieder betrachtet. Ich habe bislang auch keinen Beweis gesehen, der mit dem Quotientenkriterium funktioniert.

Ein üblicher Ansatz sieht so aus:

Betrachte die Partialfolge $\begin{eqnarray*} S_n := \sum_{k=0}^n \left(\sum_{j=2^k}^{2^{k+1}-1} a_j \right) \end{eqnarray*}$

Da die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert, ist auch die Folge (S_n) konvergent. Schätze nun die innere Summe nach unten geeignet ab.

18.12.2014, 15:06

Guppi12

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Kurze Anmerkung, vielleicht interessiert es den einen oder anderen(danach wieder raus) :
In der Tat kann es keinen Beweis mit Quotientenkriterium geben, weil es Beispiele gibt, wo die verdichtete Reihe das Quotientenkriterium erfüllt, die nicht verdichtete aber mit Quotientenkriterium nicht entscheidbar ist.

Auch impliziert Konvergenz der Reihe ja nicht die Aussage des Quotientenkriteriums, deswegen steht man da von vornherein auf verlorenem Posten.

18.12.2014, 16:09

Cyvasse

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Okay, ich hab jetzt mal n bisschen recherchiert und mir ein paar Beweisskizzen angeschaut. Ich versteh schon mal den Grundansatz, dass

$\begin{eqnarray*} a_n = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + ... < a_0 + a_1 + a_2 + a_2 + a_4 +a_4+a_4+a_4+a_8+a_8+a_8+... = 2^n a_{2^n} \end{eqnarray*}$

Was dann folgen soll ist
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} a_k \end{eqnarray*}$
Hier hab ich schon mal Probleme den Schritt nachzuvollziehen.

Und weiter soll das $\begin{eqnarray*} < \sum_{n=0}^\infty 2^na_{2^n} \end{eqnarray*}$ sein. Und auch das kann ich nicht wirklich klar nachvollziehen.

Sorry, wenn ich etwas dümmlich wirke, aber ich bin ehrlich gesagt fachfremd. Hammer

18.12.2014, 20:15

Cyvasse

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Gut, der Vollständigkeit halber, poste ich jetzt nochmal, was ich erarbeitet hab.

Sei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ konvergent. Wir zeigen, dass dann auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty 2^ka_{2^k} \end{eqnarray*}$ konvergiert. Dazu betrachten wir die Partialsummen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n 2^ka_{2^k} = (a_2+a_2)+(a_4+a_4+a_4+a_4)+...+\underbrace{(a_{2^n}+a_{2^n}+...+a_{2^n})}_{2^n Summanden} = 2(a_2+(a_4+a_4)+...+\underbrace{(a_{2^n}+a_{2^n}+...+a_{2^n})}_{2^{n-1} Summanden}) \le 2(a_2+a_3+a_4+a_5+...+a_{2^{n-1}+1}+...+a_{2^n-1}+a_{2^n}) \le 2\sum_{k=1}^\infty a_k \Rightarrow \sum_{k=1}^\infty 2^ka_{2^k} \text{ konvergiert nach dem Majorantenkriterium} \end{eqnarray*}$

Desweiteren sei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty 2^ka_{2^k} \end{eqnarray*}$ konvergent. Wir zeigen, dass dann auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert. Partialsummen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+a_2+a_3+a_4+...+a_n \le a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)+...+(a_{2^n}+...a_{2^{n+1}-1}) \le a_1+(a_2+a_2)+(a_4+a_4+a_4+a_4)+...+(a_{2^n}+a_{2^n}+...a_{2^n}) \le a_n + \sum_{k=1}^\infty 2^ka_{2^k} \Rightarrow \sum_{k=1}^\infty a_k \text{ konvergiert nach dem Majorantenkriterium} \end{eqnarray*}$

Beweisende.

Wenn mir das jetzt noch jemand bestätigen kann, bin ich zufrieden.

19.12.2014, 08:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cyvasse
Desweiteren sei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty 2^ka_{2^k} \end{eqnarray*}$ konvergent. Wir zeigen, dass dann auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert. Partialsummen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+a_2+a_3+a_4+...+a_n \le a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)+...+(a_{2^n}+...a_{2^{n+1}-1}) \le a_1+(a_2+a_2)+(a_4+a_4+a_4+a_4)+...+(a_{2^n}+a_{2^n}+...a_{2^n}) \le a_n + \sum_{k=1}^\infty 2^ka_{2^k} \Rightarrow \sum_{k=1}^\infty a_k \text{ konvergiert nach dem Majorantenkriterium} \end{eqnarray*}$

Beweisende.

Dieser Teil des Beweises bedarf einer feinfühligen Korrektur:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2^{n+1}-1} a_k = a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_{2^{n+1}-1} = a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)+...+(a_{2^n}+... + a_{2^{n+1}-1}) \le a_1+(a_2+a_2)+(a_4+a_4+a_4+a_4)+...+(a_{2^n}+a_{2^n}+... + a_{2^n}) = a_1 + \sum_{k=1}^n 2^k a_{2^k} \leq a_1 + \sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^k} \end{eqnarray*}$

Vom Stil her sollten aber "Pünktchenbeweise" in der Hochschulmathe vermieden werden. Augenzwinkern

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