Determinante linear unabhängiger Vektoren und eines Spaltenvektors

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18.12.2014, 14:48	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante linear unabhängiger Vektoren und eines Spaltenvektors Meine Frage: Hallo, die Folge der Spaltenvektoren v(1) , ... , v(n-1) aus K^n sei linear unabhängig. Zeige, dass ein Spaltenvektor x aus K^n genau dann zu der linearen Hülle dieser Vektoren gehört, wenn det (v(1) , ... , v(n-1) , x) = 0 gilt. Meine Ideen: Zur rückrichtung: ich habe gegeben, dass die Determinante der Matrix, die aus den Vektoren v(1),...,v(n-1),x besteht 0 ist. Das bedeutet dann, dass x linear abhängig (da alle anderen Vektoren nach Voraussetzung linear unabhängig sind) ist, also als Linearkombination der Vektoren v(1),...,v(n-1) dargestellt werden kann, also x aus IL(v(1),...,v(n-1)) . Ich habe allerdings irgendwie das Gefühl, dass etwas fehlt. Hin-Richtung: x kann als Linearkombination der Vektoren v(1),...,v(n-1) dargestellt werden. allerdings weiß ich hier nicht weiter. Verläuft das dann analog zu der Rückrichtung (vorausgesetzt die Rückrichtung ist richtig) oder ist der Beweis etwas komplizierter?? Wie beweise ich diese aussage?? Danke Widderchen
19.12.2014, 08:10	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm, kann mir niemand helfen?? Oder ist der Ansatz so richtig?? Viele Grüße Widderchen
19.12.2014, 09:04	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut Definition verschwindet die Determinante von n Spaltenvektoren v1, v2, ... vn, wenn diese linear abhängig sind. Da kann man nichts mehr beweisen.
19.12.2014, 10:14	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst vielen Dank für deine Antwort, Ehos. Ja, genau das habe ich mir auch gedacht. Und die Rückrichtung dieser aussage erfolgt ebenso gemäß Definition. Das ist ziemlich merkwürdig! Ich dachte, ich müsste da ein bisschen mehr zeigen, aber offenbar genügt das!! Grüße Widderchen
19.12.2014, 11:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kommt darauf an, wie die Determinante definiert wird. Wenn man die Determinante nur als Determinante einer Matrix definiert, z.B. über den Entwicklungssatz, dann kann und muss man solche Aussagen beweisen. Wenn die Determinante von Vektoren als Multilinearform mit bestimmten Eigenschaften definiert wird, dann muss man diese Eigenschaften im Beweis benutzen. Der Beweis $\begin{eqnarray} v(1),...,v(n-1)\in K^n \end{eqnarray}$ linear unabhängig, $\begin{eqnarray} det(v(1),...,v(n-1),x)=0\Rightarrow x \end{eqnarray}$ linear abhängig usw. befriedigt nicht ganz. Man kann nicht sagen "x ist linear abhängig", was du wahrscheinlich sagen möchtest ist "v(1),...,v(n-1),x sind linear abhängig". Im Beweis fehlt, warum das so ist und warum sich dann x als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Vermutlich ist das alles nicht zu schwierig, aber es erfordert eine klare und deutliche Sprache und einen sauberen Beweis, der ganz genau und lückenlos die Voraussetzungen und Folgerungen darstellt.
19.12.2014, 14:28	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, die Determinante bildet von K^n auf K ab: det: K^n => K ; K Körper Die Aussage "x ist linear abhängig" ist inkorrekt und meinte genau das, was du im Post erwähnt hast. In der aufgabenstellung wird nicht näher erläutert, ob ich die determinante nun als Multilinearform von Vektoren oder als Determinante einer matrix bestehend aus diesen Vektoren auffassen soll. ich denke mal, ich muss die Vektoren v1,...vn,x in einer Matrix zusammengestellt betrachten. Dann könnte ich die Matrix in Zeilenstufenform überführen,... Ich verstehe dann nicht, wie ich x als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen soll, also wie ich das aus det(...) = 0 folgern kann. also wenn die oben aufgeführte Beweisidee nicht genügt, weiß ich nicht, was ich noch dazu ergänzen müsste, sprich ich weiß nicht, wie ich das begründen soll. Grüße Widderchen
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19.12.2014, 18:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist das Problem, deshalb hast du von Anfang an zu recht das Gefühl, dass der Beweis nicht vollständig ist. Da hilft nur weiter darüber nachdenken und insbesondere klären, was mit dem Begriff Determinante genau gemeint ist. Wo ist die Definition der Determinante und welche Eigenschaften hat sie ???? Wenn du einen Satz kennst, der besagt "Determinante von n Vektoren ist gleich 0, genau dann wenn die Vektoren l.a. sind", dann bist du fast fertig. Wenn nicht, musst du das irgendwie beweisen. Studiere deine Skripten, da stehen Definitionen, Sätze und Beweise drin. Wenn eure Determinanten über Matrizen definiert sind, lautet ein solcher Satz in etwa "Die Determinante einer Matrix ist genau dann 0, wenn die Matrix nicht den vollen Rang hat".
19.12.2014, 19:58	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also wir hatten in der Vorlesung die folgenden Aussagen bewiesen: Die Determinante einer Matrix mit zwei gleichen Spalten ist "0". () Zwei Sätze darauf hat mein Dozent gefolgert, dass die Aussage () auch gilt, wenn eine Spalte ein Vielfaches einer anderen ist. Allgemein wurde die Determinante als folgende Funktion definiert: det A = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{\pi \in S_{n} } sgn(\pi ) \cdot \prod\limits_{i = 1}^n a_{i,\pi (i)} \end{eqnarray}$ x kann als Linearkombination der Vektoren v1, ...,v(n-1) dargestellt werden, also existieren koeffizienten a1,a2,...,a(n-1) aus einem Körper K, sodass x = a1v1 + ... + a(n-1)v(n-1). Nun betrachte ich det (v1,v2,....,v(n-1),x) = det (v1,v2,..., v(n-1) , a1v1 + ... + a(n-1)v(n-1)) . Unter Verwendung der Linearität der Detrminantenfunktion bzgl. Skalarmultiplikation und Vektoraddition resultiert daraus eine Summe von Nullen, was Null ergibt. Damit habe ich doch mindestens eine der beiden Richtungen (ich denke die Hin-Richtung) bewiesen, oder etwa nicht?? Ansonsten weiß ich nicht weiter. Grüße Widderchen
20.12.2014, 09:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So wird das was Vernünftiges, weil du jetzt konkrete Beweisschritte gehen kannst. Du musst es nur noch tun. "Unter Verwendung der Linearität der Detrminantenfunktion bzgl. Skalarmultiplikation und Vektoraddition resultiert daraus eine Summe von Nullen, was Null ergibt." Wie genau geht das ? Wenn du das machst, hast du tatsächlich eine Richtung fertig. Tipp 1: Da du hier mit Determinanten von Matrizen argumentierst, kannst du in dieser Matrix an der Stelle von x jetzt einen Nullvektor erzeugen und die Determinante nach diesem Spaltenvektor entwickeln. Tipp 2: Du kannst genau so gut nur soviel von x abziehen, dass in der Matrix 2 gleiche Spaltenvektoren enstehen, und dann greift der Satz, den du kennst: "Die Determinante einer Matrix mit zwei gleichen Spalten ist "0"." Tipp 3: Wenn du z.B. a1*v1 übriglässt, greift der nächste Satz.
20.12.2014, 16:26	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also ich habe zunächst sukzessive die Linearität der Determinante bzgl. Vektoraddition angewandt, da diese aussage bereits in der Vorlesung bewiesen wurde: "Die determinante hängt linear vom Spaltenvektor ab", das bedeutet also det (v1,...,v(i-1), v´+v´´,v(i+1),...,vn) = det(v1,...,v(i-1), v´,v(i+1),...,vn) + det(v1,...,v(i-1), v´´,v(i+1),...,vn) . Diese Eigenschaft habe ich n-1 mal angewandt, dann erhalte ich nämlich: det (v1,...,v(n-1), a1v1) + det (v1,...,v(n-1), a2v2) + ....... + det (v1,...,v(n-1), a(n-1)v(n-1)) In jedem Summanden ist der letzte Vektor nun jeweils ein Vielfaches einer der jeweiligen Basisvektoren v1, ..., v(n-1) . Nun können die Skalare a1,..., a(n-1) herausgezogen werden, da die Determinante linear bzgl. Skalarmultiplikation ist: a1det (v1,...,v(n-1), v1) + a2det (v1,...,v(n-1), v2) + ....... + a(n-1)det (v1,...,v(n-1), v(n-1)) Nun greift der Satz, dass die Determinante mit zwei gleichen Spalten 0 ergibt. daraus folgt die zu zeigende Behauptung!! So, ich denke, dass stimmt, denn ich habe alle Beweisschritte mit Sätzen aus der Vorlesung begründen können! Allerdings komme ich bei der Rückrihtung der Aussage nicht weiter! Vielen dank für deine Hilfe, Elvis! Ich finde dich toll! Widderchen
20.12.2014, 16:52	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment mal, die Rückrichtung funktioniert doch fast genauso wie die Rückrichtung: Da det (v1,...,v(n-1),x) = 0 ist und die Vektoren v1, ..., v(n-1) nach Vorauss. linear unabhängig sind, muss der Spaltenvektor x zwangsläufig (gemäß der Aussage, dass die Determinante mit zwei gleichen Spaltenvektoren Null ergibt) im einfachsten Fall einer der Vektoren v1,....,v(n-1) sein, oder sogar ein Vielfaches der Vektoren v1,...,v(n-1) sein, also x = a1v_j j aus 1,...,n-1 (denn es wurde in der Vorlesung auch bewiesen, dass det(v1,...,vn-1,x) =0 für x Vielfaches von v_j ), oder unter Ausnutzung der additiven Linearität der Determinantenfunktion det(v1,...,v(n-1),a1v1) + ... + det(v1,...,v(n-1), a(n-1)v(n-1)) = det (v1,...,v(n-1), a1v1 + ... + a(n-1)v(n-1)) = 0 Daraus folgt aber gerade x = a1v1 + ... a(n-1)*v(n-1) ; a1,...,a(n-1) aus Körper K, das bedeutet x ist als Linearkombination der lin. unabh. Vektoren v1,...,v(n-1) darstellbar, also gilt x ist Element aus der linearen Hüllle IL(v1,...,v(n-1)) und damit ist auch die Rückrichtung gezeigt. Ich hoffe, dass stimmt so!! Grüße Widderchen
21.12.2014, 14:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die eine Richtung scheint mir jetzt vollständig und richtig bewiesen zu sein. Wenn du das als Lösung einer Übungsaufgabe abgibst, schreibst du das sicher sauber auf, und alle werden damit zufrieden sein. Die andere Richtung gefällt mir noch nicht, lustigerweise hast du gesagt "die Rückrichtung funktioniert doch fast genauso wie die Rückrichtung" und hast auch tatsächlich nichts Neues gemacht. Tipp: Mir scheint hier ein indirekter Beweis angebracht. Nimm an x ist nicht eine LK der v(i). Was folgt daraus ? Letzlich muss sich daraus ergeben, dass die Determinante nicht 0 ist.
21.12.2014, 15:23	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, nachdem ich meinen eigenen Post gelesen hatte, musste ich auch schmunzeln!!! Ok, zur Rückrichtung: Angenommen x ist nicht in der linearen Hülle der lin. unabh. Vektoren v1,...,v(n-1) enthalten, das bedeutet, x kann nicht als Linearkombination der Vektoren v1,...,v(n-1) dargestellt werden. (mit Ausnahme der Triviallösung, in der alle Koeffizienten dieser Linearkombination "0" sind). Damit sind die Vektoren v1,...,v(n-1),x linear unabhängig. Daraus ergibt sich unmittelbar, dass die Determinante der Matrix mit den Spaltenvektoren v1,...,v(n-1),x nicht Null ist, was zu zeigen war. Ich hoffe, das genügt so. Viele Grüße Widderchen
21.12.2014, 17:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bombastisch. Das ist ein Beweis, der meinen Ansprüchen genügt. Frohe Weihnachten.
21.12.2014, 17:54	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, Elvis, dir ebenso frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!!! Widderchen

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