Stetigkeit einer Komponentenfunktion f(x) = (f1(x),...,fm(x))

18.12.2014, 20:25

Widderchen

Stetigkeit einer Komponentenfunktion f(x) = (f1(x),...,fm(x))

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Probleme:
Sei f : IR^n => IR^m
eine Abbildung mit Komponenten f1 , ... , fm das heißt
f(x) = (f1(x),...,fm(x)) für alle x aus IR^n,
wobei die fi reellwertige Funktionen auf IR^n sind.

Beweise, dass f genau dann stetig ist, wenn alle Komponenten fi stetig sind.

Zweitens:
Sei P(z) ein Polynom mit komplexwertigen Koeffizienten von einer komplexwertigen Variable z.Mit der Identifizierung C = IR^2 lasst sich P
als eine Abbildung von IR^2 nach IR^2 betrachten. Beweisen Sie, dass
P : IR^2 ? IR^2 stetig ist.

Meine Ideen:
Zur Rückrichtung: Wenn die einzelnen Komponenten fi der Funktion f stetig sind, dann folgt daraus doch unmittelbar die Stetigkeit von f, oder genügt das nicht als Begründung? Ich weiß nicht so recht, wie ich das Eps.-Delta-Kriterium verwenden kann, insbesondere für die "Hin-Richtung".
Problem 2 ist doch im Grunde nur ein Spezialfall von Problem 1 für den Fall m = n = 2. Dann müsste ich die Stetigkeit von P nicht mehr nachweisen, da sie ja unmittelbar aus Problem 1 gefolgert werden könnte. P kann dann nämlcih als zweikomponentige Funktion P(z) = (f1(z) , f2(z)) aufgefasst werden.

Über Hilfe wär ich dankbar!
Widderchen

19.12.2014, 09:59

bijektion

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Also zu 1. Wenn $\begin{eqnarray*} f_1,\dots f_m \end{eqnarray*}$ stetig sind und $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , so gilt doch für jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, dass $\begin{eqnarray*} f_j(x_n)\to f_j(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Im anderen Fall würde ich ein Widerspruch nutzen: Angenommen, es ist $\begin{eqnarray*} f_l \end{eqnarray*}$ unstetig. Dann ist mit den Bezeichnungen von oben sicher $\begin{eqnarray*} (f_l(x_n)) \end{eqnarray*}$ nicht konvergent gegen $\begin{eqnarray*} f_l(x_0) \end{eqnarray*}$ , das ist dann schon ein Widerspruch zur Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Problem 2 ist doch im Grunde nur ein Spezialfall von Problem 1 für den Fall m = n = 2. Dann müsste ich die Stetigkeit von P nicht mehr nachweisen, da sie ja unmittelbar aus Problem 1 gefolgert werden könnte. P kann dann nämlcih als zweikomponentige Funktion P(z) = (f1(z) , f2(z)) aufgefasst werden.

Ja, 2. folgt daraus, das Polynome stetig sind.

19.12.2014, 10:20

Widderchen

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Vielen Dank für deine Antwort, Bijektion!!

Du hast also die Folgenstetigkeit der fj genutzt, um daraus die Stetigkeit von f zu folgern. Wenn die einzelnen komponenten von f stetig sind , dann ist auch f in x_0 stetig. Klingt plausibel! Muss man das noch explizit ausführen oder genügt es, dies argumentativ auszudrücken.

Der Widerspruchsbeweis für die Rückrichtung klingt ebenfalls plausibel!

Mit Problem 2 hatte ich dann soweit recht, ok!

Grüße
Widderchen

19.12.2014, 10:30

bijektion

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Zitat:

Muss man das noch explizit ausführen oder genügt es, dies argumentativ auszudrücken.

Ich würde den ersten Teil etwa so aufschreiben: Seien $\begin{eqnarray*} f_1,\dots,f_m \end{eqnarray*}$ stetig, $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n\to_{n\to\infty} x_0 \end{eqnarray*}$ : Wegen der Stetigkeit der $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ gibt es zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq j\leq m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} |f_j(x_n)-f_j(x_0)|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{m}} \end{eqnarray*}$ gilt.

Damit folgt: $\begin{eqnarray*} || f(x_n)-f(x_0)|| = \sqrt{(f_1(x_n)-f_1(x_0))^2+\dots+(f_m(x_n)-f_m(x_0))^2}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ und das war zu zeigen.

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